Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
a) un = n – 1;
b) \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}}\);
c) un = sin n;
d) un = (– 1)n – 1 n2.
Giải bởi Vietjack
Lời giải:
a) Ta có: un = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, dãy số (un) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ*.
Dãy số (un) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:
un = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.
b) Ta có: \({u_n} = \frac{{n + 1}}{{n + 2}} = \frac{{n + 2 - 1}}{{n + 2}} = 1 - \frac{1}{{n + 2}}\), với mọi n ∈ ℕ*.
Vì \(0 < \frac{1}{{n + 2}} \le \frac{1}{3}\), ∀ n ∈ ℕ* nên \( - \frac{1}{3} \le - \frac{1}{{n + 2}} < 0\) ∀ n ∈ ℕ*.
Suy ra \(1 - \frac{1}{3} \le 1 - \frac{1}{{n + 2}} < 1\) hay \(\frac{2}{3} \le {u_n} < 1\) ∀ n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.
c) Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, – 1 ≤ un ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ*.
Vậy dãy số (un) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (un) là dãy số bị chặn.
d) un = (– 1)n – 1 n2
Ta có: (– 1)n – 1 = 1 với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.
(– 1)n – 1 = – 1 với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.
n2 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ*.
Do đó, un = – n2 < 0, với mọi n ∈ ℕ* và n chẵn.
un = n2 > 0, với mọi n ∈ ℕ* và n lẻ.
Vậy dãy số (un) không bị chặn.
a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.
b) Viết công thức số hạng un của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.
Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (un) có số hạng tổng quát cho bởi:
a) un = 3n – 2;
b) un = 3 . 2n;
c) \({u_n} = {\left( {1 + \frac{1}{n}} \right)^n}\).
Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi sn (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:
s1 = 200, sn = sn – 1 + 25 với n ≥ 2.
a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.
b) Chứng minh (sn) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.
Xét dãy số (un) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5:
5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
a) Viết công thức số hạng tổng quát un của dãy số.
b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.
Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức
\({A_n} = 100{\left( {1 + \frac{{0,06}}{{12}}} \right)^n}\).
a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.
b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.
Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.
Gọi An (n ∈ ℕ) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng.
a) Tìm lần lượt A0, A1, A2, A3, A4, A5, A6 để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.
b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (An).
Dãy số (un) được cho bởi hệ thức truy hồi: u1 = 1, un = n . un – 1 với n ≥ 2.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của un.
Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:
a) Đều chia hết cho 3;
b) Khi chia cho 4 dư 1.
a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.
b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.
a) Xét dãy số (un) với un = 3n – 1. Tính un + 1 và so sánh với un.
b) Xét dãy số (vn) với \({v_n} = \frac{1}{{{n^2}}}\). Tính vn + 1 và so sánh với vn.
Cho dãy số (un) với \({u_n} = \frac{{n + 1}}{n},\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}\).
a) So sánh un và 1.
b) So sánh un và 2.
CÔNG TY TNHH ĐẦU TƯ VÀ DỊCH VỤ GIÁO DỤC VIETJACK
- Người đại diện: Nguyễn Thanh Tuyền
- Số giấy chứng nhận đăng ký kinh doanh: 0108307822, ngày cấp: 04/06/2018, nơi cấp: Sở Kế hoạch và Đầu tư thành phố Hà Nội.
© 2021 Vietjack. All Rights Reserved.
