Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ...

Question

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng MD→+ME→+MF→=32MO→.

VietJack · Accepted Answer

Tam giác ABC đều nên A^=B^=C^=60°. Qua M kẻ: HG // AB, IJ // BC, KL // AC với H, L ∈ BC; K, J ∈ AB; G, I ∈ AC. Khi đó ta có AKMG, BJMH, MLCI là các hình bình hành. Theo quy tắc hình hình hành ta có: MK→+MG→=MA→; MH→+MJ→=MB→; MI→+ML→=MC→. (1) Ta có: MH // AB ⇒MHL^=B^=60° (đồng vị) ML // AC ⇒MLH^=C^=60° (đồng vị) Tam giác MHL có MHL^=MLH^=60° nên tam giác MHL đều. Có MD vuông góc với HL nên MD đồng thời là đường trung tuyến của tam giác MHL. Suy ra D là trung điểm của HL. Khi đó ta có: MH→+ML→=2MD→. Chứng minh tương tự ta có: MK→+MJ→=2MF→; MG→+MI→=2ME→. Do đó: 2MD→+2ME→+2MF→=MH→+ML→+MG→+MI→+MK→+MJ→ =(MK→+MG→)+(MH→+MJ→)+(MI→+ML→) (2) Từ (1) và (2) suy ra: 2(MD→+ME→+MF→)=MA→+MB→+MC→ Mà O là trọng tậm của tam giác ABC nên MA→+MB→+MC→=3MO→ Do đó: 2(MD→+ME→+MF→)=3MO→ Suy ra MD→+ME→+MF→=32MO→.

Câu hỏi:

Cho tam giác đều ABC có O là trọng tâm và M là một điểm tùy ý trong tam giác. Gọi D, E, F lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, AC, AB. Chứng minh rằng $\vec{M D} + \vec{M E} + \vec{M F} = \frac{3}{2} \vec{M O}$ .

Trả lời:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và có góc A bằng 60°. Tìm độ dài các vectơ sau: $\vec{p} = \vec{A B} + \vec{A D}$ ; $\vec{u} = \vec{A B} - \vec{A D}$ ; $\vec{v} = 2 \vec{A B} - \vec{A C}$ .

Câu 2:

Câu 3:

Cho hình chữ nhật ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo và AB = a, BC = 3a.

a) Tính độ dài của các vectơ $\vec{A C}, \vec{B D}$ .
b) Tìm trong hình các cặp vectơ đối nhau và có độ dài bằng $\frac{a \sqrt{10}}{2}$ .

Câu 4:

Câu 5:

Cho $\vec{a}$ , $\vec{b}$ là hai vectơ khác vectơ $\vec{0}$ . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng?

a) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} | + | \vec{b} |$ ;

b) $| \vec{a} + \vec{b} | = | \vec{a} - \vec{b} |$ .

Câu 6:

Câu 7:

Câu 8:

Cho tam giác ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh rằng $\vec{R J} + \vec{I Q} + \vec{P S} = \vec{0}$ .

Câu 9:

Một chiếc máy bay được biết là đang bay về phía bắc với tốc độ 45 m/s, mặc dù vận tốc của nó so với mặt đất là 38 m/s theo hướng nghiêng một góc 20° về phía tây bắc (Hình 2). Tính tốc độ của gió.

Câu 10:

Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng $\vec{A B} = \vec{C D}$ khi và chỉ khi trung điểm của hai đoạn thẳng AD và BC trùng nhau.

Câu 11:

Cho $| \vec{a} + \vec{b} | = 0$ . So sánh độ dài, phương và hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ .

Đề thi liên quan

Câu hỏi mới nhất