Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.

a) Chứng minh $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$ .

b) Biết rằng S_ABC = 9S_BDE và DE = $2\sqrt{2}$  . Tính cosB và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

a) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác cho hai tam giác BDE và tam giác ABC ta có:

$S_{BDE}=\frac{1}{2}.BD.BE.\sin B$

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.BA.BC.\sin B$

Suy ra $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{\frac{1}{2}BD.BE.\sin B}{\frac{1}{2}BA.BC.\sin B}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

Vậy $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}$

b) Từ SABC = 9SBDE ⇒ $\frac{S_{BDE}}{S_{BAC}}=\frac{BD.BE}{BA.BC}=\frac{1}{9}$

Tam giác BEC vuông tại E có: cosB = $\frac{BE}{BC}$ .

Tam giác ADB vuông tại D có: cosB = $\frac{BD}{AB}$ .

Suy ra cos2B = $\frac{BE}{BC}$. $\frac{BD}{AB}$ = $\frac{BD.BE}{BA.BC}=\frac{1}{9}$

$\Rightarrow \cos B=\pm \frac{1}{3}$

Mặt khác, vì góc B nhọn nên sinB > 0, cosB > 0, do đó: cosB = $\frac{1}{3}$.

Mà sin²B + cos²B = 1, suy ra

sinB = $\sqrt{1-{\cos }^{2}B}=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

Xét hai tam giác BDE và tam giác BAC có:

$\frac{BE}{BC}$= $\frac{BD}{AB}$=  $\frac{1}{3}$(cùng bằng cosB)

Góc B chung

Suy ra hai tam giác BDE và tam giác BAC đồng dạng theo hệ số tỉ lệ k =$\frac{1}{3}$ .

⇒ $\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}\Rightarrow AC=3DE=3.2\sqrt{2}=6\sqrt{2}$

Áp dụng định lí sin cho hai tam giác BAC và tam giác BDE ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=2R$; $\frac{DE}{\sin B}=2R\text{'}\Rightarrow R\text{'}=\frac{DE}{2\sin B}=\frac{2\sqrt{2}}{2.\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{3}{2}$(R’ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE).

⇒ $\frac{R}{R\text{'}}=\frac{AC}{DE}=\frac{6\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=3$

⇒ R = 3R' = $3.\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$

Vậy cosB = $\frac{1}{3}$ ; R = $\frac{9}{2}$ .

Trường hợp đồng dạng thứ ba: Cạnh – Góc – Cạnh

Định nghĩa

Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng

 

Tổng quát: Δ ABC,Δ A'B'C' có A'B'/AB = A'C'/AC và Aˆ = A'ˆ

⇒ Δ ABC ∼ Δ A'B'C' ( c - g - c )

Lý thuyết Định lí côsin và định lí sin

Định lí côsin trong tam giác

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

a² = b² + c² – 2bc.cosA;

b² = c² + a² – 2ca.cosB;

c² = a² + b² – 2ab.cosC.

Từ định lí côsin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc};$
 

$\cos B=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca};$

 

$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$

Định lí sin trong tam giác: 

Trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R;$

Trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Từ định lí sin, ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả:

a = 2R.sinA; b = 2R.sinB; c = 2R.sinC;

$\sin A=\frac{a}{2R};\sin B=\frac{b}{2R};\sin C=\frac{c}{2R}.$ 

Bài tập liên quan:

Trong một khu bảo tồn, người ta xây dựng một tháp canh và hai bồn chứa nước A, B để phòng hỏa hoạn. Từ tháp canh, người ta phát hiện đám cháy và số liệu đưa về như Hình 9. Nên dẫn nước từ bồn chứa A hay B để dập tắt đám cháy nhanh hơn ?

Cách giải:

Đặt tên các vị trí bằng các điểm như hình vẽ sau :

Để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn gần vị trí đám cháy hơn.Vì vậy, ta cần so sánh BC và DC.

Xét tam giác ADC có:

$\widehat{CAD}+\widehat{ADC}+\widehat{ACD}={180}^o\Rightarrow \widehat{ACD}={180}^o-(\widehat{CAD}+\widehat{ADC})={180}^o-({35}^o+{125}^o)={20}^o$.

Áp dụng định lí sin cho tam giác ADC ta có :

$\frac{DC}{\sin \widehat{CAD}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ADC}}=\frac{AD}{\sin \widehat{ACD}}\Rightarrow \frac{DC}{\sin {35}^o}=\frac{AC}{\sin {125}^o}=\frac{900}{\sin {20}^o}$

 

⇒ AC = $\frac{900.\sin {125}^o}{\sin {20}^o}$ ≈ 2 156 m; DC = $\frac{900.\sin {35}^o}{\sin {20}^o}$  ≈ 1 509 m.

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC ta có:

BC2 = AB2 + AC2 – 2AB.AC.cos  $\widehat{BAC}$

= 1 8002 + 2 1562 – 2. 1800. 2156 .cos34° ≈ 1 453 678.

⇒ BC ≈ 1 206 m.

Từ DC ≈ 1 509 m và BC ≈ 1 206 m suy ra DC > BC.

Vậy để dập tắt đám cháy nhanh hơn thì nước phải lấy từ bồn B.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°. Định lí côsin và định lí sin trong tam giác (Cánh diều) | Toán lớp 10

20 câu Trắc nghiệm Giá trị lượng giác của một góc từ 0 độ đến 180 độ (Cánh diều) - Toán lớp 10