Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì giả thiết không cho góc nên ta sẽ phân tích các vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BD}$ theo các vectơ vuông góc với nhau.

Vì ABCD là hình chữ nhật nên AB ⊥ BC.

Suy ra $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{BC}$.

Do đó $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=0$.

Theo quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}$.

Ta có $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}.\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$

$=-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB}+0=-{\overrightarrow{AB}}^2=-A{B}^2=-64$.

Vậy ta chọn đáp án D.

Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ khác vectơ-không $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow{u}$.$\overrightarrow{v}$, được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = |$\overrightarrow{u}$|.|$\overrightarrow{v}$|.cos($\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$)

Chú ý:

+) $\overrightarrow{u}$ ⊥ $\overrightarrow{v}$ ⇔ $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{v}$ = 0.

+) $\overrightarrow{u}$. $\overrightarrow{u}$ còn được viết là ${\overrightarrow{u}}^2$ và được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow{u}$.

Ta có ${\overrightarrow{u}}^2=\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{u}\right|.\cos 0°={\left(\overrightarrow{u}\right)}^2$.

(Bình phương vô hướng của một vectơ bằng bình phương độ dài của vectơ đó.)

Xem thêm một số kiến thức liên quan:

20 câu Trắc nghiệm Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức) có đáp án – Toán lớp 10

Lý thuyết Tích vô hướng của hai vectơ (Kết nối tri thức) hay, chi tiết | Toán lớp 10