Cho hàm số u = sinx và hàm số y = u².

a) Tính y theo x.

b) Tính y'_x (đạo hàm của y theo biến x), y'_u (đạo hàm của y theo biến u) và u'_x (đạo hàm của u theo biến x) rồi so sánh y'_x với y'_u×u'_x.

Một công ty xác định rằng tổng chi phí của họ, tính theo nghìn đô-la, để sản xuất x mặt hàng là  $C\left(x\right)=\sqrt{5x^2+60}$ và công ty lên kế hoạch nâng sản lượng trong t tháng kể từ nay theo hàm số x(t) = 20t + 40. Chi phí sẽ tăng nhanh thế nào sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó?

Cân nặng trung bình của một bé gái trong độ tuổi từ 0 đến 36 tháng có thể được tính gần đúng bởi hàm số w(t) = 0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15, trong đó t được tính bằng tháng và w được tính bằng pound (nguồn: https://www.cdc.gov/growthcharts/data/who/GrChrt_Boys). Tính tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi.

Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

b) y = lnx.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:   

d) $y=\sqrt{5x}$.

Cho biết  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1$ và  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = e^x;                                                                

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

c) y = tan²x;                                                           

d) y = cot(4 – x²).

Tính đạo hàm của các hàm số: 

b) y = lnx tại  $x=\frac{1}{3}$.

Cho biết  $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$. Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số y = sinx.

Tính đạo hàm của các hàm số:

a) y = xlog₂x;      b) y = x³e^x.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (x² – x)×2^x;                   

b) y = x²log₃x;                                    

c) y = e^{3x + 1}.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = sin3x;                                                          

b) y = cos³2x;

Trên Mặt Trăng, quãng đường rơi tự do của một vật được cho bởi công thức s(t) = 0,81t², trong đó t là thời gian được tính bằng giây và s tính bằng mét. Một vật được thả rơi từ độ cao 200 m phía trên Mặt Trăng. Tại thời điểm t = 2 sau khi thả vật đó, tính:

a) Quãng đường vật đã rơi;

b) Gia tốc của vật.

Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=2x^3-\frac{x^2}{2}+4x-\frac{1}{3}$;                                       

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) y = 2x⁴ – 5x² + 3;                                      

b) y = xe^x.