Cho đường tròn (C) tâm F₁, bán kính r và một điểm F₂ thoả mãn F₁F₂ = 4r.

a) Chứng tỏ rằng tâm của các đường tròn đi qua F₂ và tiếp xúc với (C) nằm trên một đường hypebol (H).

b) Viết phương trình chính tắc và tìm tâm sai của (H).

Khi bay với vận tốc siêu thanh (tốc độ chuyển động lớn hơn tốc độ âm thanh trong cùng môi trường), một máy bay tạo ra một vùng nhiễu động trên mặt đất dọc theo một nhánh của hypebol (H) (Hình 4). Phần nghe rõ nhất tiếng ồn của vùng nói trên được gọi là thảm nhiễu động. Bề rộng của thảm này gấp khoảng 5 lần cao độ của máy bay. Tính cao độ của máy bay, biết bề rộng của thảm nhiễu động được đo cách phía sau máy bay một khoảng là 40 mile (mile (dặm) là đơn vị đo khoảng cách, 1 mile ≈ 1,6 km ) và (H) có phương trình:$\frac{x^2}{400}-\frac{y^2}{100}=1.$

Cho điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và hai đường thẳng ${\Delta }_1:x+\frac{a}{e}=0$; ${\Delta }_2:x-\frac{a}{e}=0$ (Hình 7).

Gọi d(M; Δ₁), d(M; Δ₂) lần lượt là khoảng cách từ M đến các đường thẳng Δ₁, Δ₂.

Ta có: $\frac{M{F}_1}{d(M;{\Delta }_1)}=\frac{|a+ex|}{|x+\frac{a}{e}|}=\frac{|a+ex|}{\frac{|a+ex|}{e}}=e$.

Dựa theo cách tính trên, tính $\frac{M{F}_2}{d(M;{\Delta }_2)}$.

Trong hoạt động mở đầu bài học, cho biết khoảng cách giữa hai trạm vô tuyến là 600 km, vận tốc sóng vô tuyến là 300000 km/s và thời gian con tàu nhận được tín hiệu từ hai trạm trên bờ biển luôn cách nhau 0,0012 s (hai trạm vô tuyến phát các tín hiệu cùng một thời điểm). Viết phương trình chính tắc của quỹ đạo hypebol (H) của con tàu.

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 26 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 288/13.

Một vật thể có quỹ đạo là một nhánh của hypebol (H), nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm (Hình 6). Cho biết tâm sai của (H) bằng 1,2 và khoảng cách gần nhất giữa vật thể và tâm Mặt Trời là 2 . 108 km.

a) Lập phương trình chính tắc của (H).

b) Lập công thức tính bán kính qua tiêu của vị trí M(x; y) của vật thể trong mặt phẳng toạ độ.

Lập phương trình chính tắc của hypebol có tiêu cự bằng 20 và khoảng cách giữa hai đường chuẩn bằng 36/5.

Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{25}=1$.

a) Tìm tâm sai và độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm $M(13;\frac{25}{12})$ trên (H).

b) Tìm tọa độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng.

c) Tìm điểm N(x; y) $\in$ (H) sao cho NF₁ = 2NF₂ với F₁, F₂ là hai tiêu điểm của (H).

Cho điểm M(x; y) nằm trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

a) Chứng minh rằng F₁M2 – F₂M2 = 4cx.

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₁(–a; 0) (Hình 5a). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₂ – MF₁ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=-2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=-a-\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=a-\frac{c}{a}x.$

b) Giả sử điểm M(x; y) thuộc nhánh đi qua A₂(a; 0) (Hình 5 b). Sử dụng kết quả đã chứng minh được ở câu a) kết hợp với tính chất MF₁ – MF₂ = 2a đã biết để chứng minh $M{F}_2+M{F}_1=2\frac{cx}{a}$. Từ đó, chứng minh các công thức: $M{F}_1=a+\frac{c}{a}x$; $M{F}_2=-a+\frac{c}{a}x.$

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của điểm M(x; y) trên hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{64}-\frac{y^2}{36}=1$.

Tính độ dài hai bán kính qua tiêu của đỉnh A₂(a; 0) trên hypebol (H): $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$.

Cho hypebol (H) với phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ và điểm M(x₀; y₀) nằm trên (H). Các điểm M₁(–x₀; y₀), M₂(x₀; –y₀), M₃(–x₀; –y₀) có thuộc (H) không?

Tìm toạ độ hai tiêu điểm và viết phương trình hai đường chuẩn tương ứng của các hypebol sau:

a) $\left(H_1\right):\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{1}=1$

b) $\left(H_2\right):\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1$

c) $\left(H_3\right):\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{9}=1$.

Cho hypebol (H) có tâm sai bằng $\sqrt{2}$. Chứng minh trục thực và trục ảo của (H) có độ dài bằng nhau.

Cho hypebol $\left(H\right):\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$. Chứng tỏ rằng $\frac{c}{a}>1$.