Trả lời nhanh
Với dạng đề phổ biến: máy bay bay từ đông sang tây với tốc độ 700 km/h, gặp luồng gió thổi từ đông bắc sang tây nam với tốc độ 40 km/h, vận tốc mới là tổng hai vectơ vận tốc. Góc giữa hai vectơ là 45° nên theo định lí côsin, tốc độ mới là √(700² + 40² + 2·700·40·cos 45°) ≈ 728,83 km/h. Máy bay còn bị lệch khỏi hướng tây khoảng 2,2° về phía nam.
Đề bài và cách hiểu hướng
Đề bài thường gặp ở Toán 10 (chương vectơ) được phát biểu như sau: máy bay đang bay từ hướng đông sang hướng tây với tốc độ 700 km/h thì gặp luồng gió thổi từ hướng đông bắc sang hướng tây nam với tốc độ 40 km/h. Tìm tốc độ mới của máy bay. Phần mô tả gió thường bị lược khi đề được chép lại, vì vậy bài viết này dùng số liệu của đề gốc quen thuộc; nếu đề của em có số khác, em chỉ cần thay số vào công thức ở dưới.
Điều quyết định là hiểu đúng hướng:
- Máy bay bay về phía tây, nên vectơ vận tốc v₁ hướng sang trái trên bản đồ (bắc ở trên).
- Gió thổi từ đông bắc sang tây nam, nên vectơ vận tốc gió v₂ hướng xuống phía dưới bên trái.
- Hướng tây và hướng tây nam lệch nhau đúng 45°, nên góc giữa v₁ và v₂ bằng 45°.
Lời giải bằng định lí côsin
- Đặt vectơ: gọi v₁ là vận tốc máy bay, |v₁| = 700 km/h; v₂ là vận tốc gió, |v₂| = 40 km/h. Vận tốc mới là v = v₁ + v₂.
- Dựng hình bình hành có hai cạnh kề là v₁ và v₂ chung gốc; đường chéo xuất phát từ gốc chính là v.
- Áp dụng công thức cho hai vectơ hợp với nhau một góc α: |v|² = |v₁|² + |v₂|² + 2·|v₁|·|v₂|·cos α.
- Thay số với α = 45°: |v|² = 700² + 40² + 2·700·40·(√2/2) = 490 000 + 1 600 + 28 000√2 ≈ 531 197,98.
- Kết luận: |v| ≈ 728,83 km/h.
Như vậy gió thổi nghiêng về phía trước làm máy bay nhanh thêm khoảng 28,8 km/h so với tốc độ ban đầu.
Kiểm tra lại bằng toạ độ
Chọn trục Ox hướng đông, Oy hướng bắc. Khi đó:
- v₁ = (−700; 0).
- v₂ = (−40·cos 45°; −40·sin 45°) ≈ (−28,28; −28,28).
- v = v₁ + v₂ ≈ (−728,28; −28,28), suy ra |v| = √(728,28² + 28,28²) ≈ 728,83 km/h.
Hai cách cho cùng kết quả, em dùng cách còn lại để tự kiểm tra khi làm bài.
Máy bay bị lệch bao nhiêu độ?
Gọi θ là góc giữa v và v₁. Theo định lí sin trong tam giác tạo bởi các vectơ: sin θ = |v₂|·sin 45° / |v| = 40·0,7071 / 728,83 ≈ 0,0388, nên θ ≈ 2,2°. Máy bay lệch khỏi hướng tây khoảng 2,2° về phía nam. Nếu cần giữ đúng hướng tây, phi công phải chỉnh mũi máy bay ngược lại một góc xấp xỉ như vậy.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm dấu của cos: khi cộng hai vectơ hợp góc 45°, em phải dùng +2ab·cos 45°. Dấu trừ chỉ xuất hiện khi lấy góc trong của hình bình hành (135°) hoặc khi trừ hai vectơ.
- Lấy sai góc: đừng chọn góc 135° chỉ vì thấy hình bình hành có góc tù; góc cần dùng là góc giữa hai vectơ khi chúng chung gốc.
- Cộng thẳng 700 + 40: chỉ đúng khi gió cùng hướng với máy bay. Ở đây gió nghiêng 45° nên kết quả nhỏ hơn 740 km/h.
- Làm tròn sớm: hãy giữ nhiều chữ số ở bước trung gian rồi mới làm tròn ở kết quả.
Bài luyện tập có đáp án
- Máy bay bay về hướng tây với tốc độ 650 km/h, gặp gió thổi từ đông bắc sang tây nam với tốc độ 30 km/h. Tính tốc độ mới. Đáp án: ≈ 671,55 km/h.
- Máy bay bay về hướng tây 700 km/h, gió thổi từ bắc xuống nam (vuông góc) với tốc độ 40 km/h. Tính tốc độ mới và góc lệch. Đáp án: √(700² + 40²) ≈ 701,14 km/h; góc lệch ≈ 3,3°.
- Gió thổi cùng hướng với máy bay (từ đông sang tây) với tốc độ 50 km/h, máy bay bay 700 km/h. Tính tốc độ mới. Đáp án: 750 km/h vì hai vectơ cùng hướng.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao góc giữa vận tốc máy bay và vận tốc gió là 45°?
Máy bay bay hướng tây còn gió thổi về hướng tây nam. Hai hướng này liền kề nhau trên la bàn 8 hướng nên lệch nhau 45°.
Tốc độ mới của máy bay là bao nhiêu?
Với số liệu 700 km/h và gió 40 km/h từ đông bắc sang tây nam, tốc độ mới là khoảng 728,83 km/h.
Tại sao tốc độ mới không bằng 700 + 40 = 740 km/h?
Phép cộng thẳng chỉ đúng khi hai vận tốc cùng hướng. Ở đây gió nghiêng 45° so với hướng bay nên chỉ một phần của gió làm tăng tốc độ.
Bài này dùng kiến thức nào của Toán 10?
Bài dùng quy tắc hình bình hành để cộng hai vectơ và định lí côsin trong tam giác để tính độ dài vectơ tổng.