Giá trị nhỏ nhất của biết thức F(x; y) = x – 2y với điều kiện $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 5\\ x\ge 0\\ x+y-2\ge 0\\ x-y-2\le 0\end{array}\right.$  là

Đáp án đúng là: A

Ta biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{c}0\le y\le 5\\ x\ge 0\\ x+y-2\ge 0\\ x-y-2\le 0\end{array}\right.$  trên hệ trục tọa độ

Vẽ đường thẳng d1: x + y – 2 = 0, đường thẳng d1 qua hai điểm (0; 2) và (2; 0)

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 + 0 – 2= – 2 < 0. Không thoả mãn bất phương trình x + y – 2 ≥ 0. Vậy O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D1 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d1 và không chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d2: x – y – 2 = 0, đường thẳng d2 qua hai điểm (0; – 2) và (2; 0).

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 – 0 – 2 = – 2 < 0. Thoả mãn bất phương trình x – y – 2 ≤ 0. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D2 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d2 và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

Vẽ đường thẳng d3: y = 5.

Xét điểm O(0; 0) thay vào phương trình đường thẳng ta có 0 < 5. Thoả mãn bất phương trình 0 ≤ y ≤ 5. Vậy điểm O(0; 0) thuộc miền nghiệm của bất phương trình.

Do đó miền nghiệm D3 là nửa mặt phẳng không bị gạch được chia bởi đường thẳng d3 và chứa gốc tọa độ O (kể cả bờ).

x 0 có miền nghiệm là nửa mặt phẳng nằm bên phải trục tung (kể cả trục tung).

y 0 có miền nghiệm là nử mặt phẳng nằm phía trên trục hoành (kể cả trục hoành).

Miền nghiệm là phần không bị gạch như hình vẽ.

Miền nghiệm là tứ giác ABCD với A(7; 5); B(0; 5); C(0; 2); D(2; 0).

Nhận thấy biểu thức F(x; y) = x – 2y chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B, C, D.

Ta có:

F(x; y) = x – 2y suy ra F(7; 5) = 7 – 2.5 = – 3.

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 5) = 0 – 2.5 = – 10;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(0; 2) = 0 – 2.2 = – 4;

F(x; y) = x – 2y suy ra F(2; 0) = 2 – 2.0 = 2.

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = x – 2y bằng – 10.

Lý thuyết Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ

- Trong mặt phẳng tọa độ, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

- Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

- Cách xác định miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

+ Trên cùng một mặt phẳng tọa độ, xác định miền nghiệm của mỗi bất phương trình bậc nhất hai ẩn trong hệ và gạch bỏ miền còn lại.

+ Miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Tham khảo thêm một số tài liệu liên quan:

Lý thuyết Toán 10 Chương 2 (Kết nối tri thức): Bất phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

30 câu Trắc nghiệm Chương 2: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn (Kết nối tri thức) – Toán lớp 10