Chứng minh rằng đẳng thức sau đây đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

$1+q+q^2+q^3+q^4+\dots +q^{n-1}=\frac{1-q^n}{1-q}(q\ne 1).$

Chứng minh các đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

a) $1.2+2.3+3.4+\dots +n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3};$

b) $1+4+9+\dots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

c) $\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{2}}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{3}}\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{4}}\mathbf{+}\mathbf{\dots }\mathbf{+}{\mathbf{2}}^{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}\mathbf{=}{\mathbf{2}}^{\mathbf{n}}\mathbf{-}\mathbf{1}$.

Chứng minh rằng đẳng thức sau đúng với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$:

Hàng tháng, một người gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm không đổi a đồng. Giả sử lãi suất hằng tháng là r không đổi và theo thể thức lãi kép (tiền lãi của tháng trước được cộng vào vốn của tháng kế tiếp). Gọi T_n (n ≥ 1) là tổng tiền vốn và lãi của người đó có trong ngân hàng tại thời điểm ngay sau khi gửi vào khoản thứ n + 1.

a) Tính T₁, T₂, T₃.

Chứng minh rằng n³ + 2n chia hết cho 3 với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Chứng minh rằng trong mặt phẳng, n đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm chia mặt phẳng thành 2n phần $(n\in {\mathbb{N}}^{*})$.

Trong mặt phẳng, cho đa giác A₁ A₂ A₃... A_n có n cạnh (n ≥ 3). Gọi S_n là tổng số đo các góc trong của đa giác.

a) Tính S₃, S₄, S₅ tương ứng với trường hợp đa giác là tam giác, tứ giác, ngũ giác.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính S_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Chứng minh rằng, với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, ta có:

a) 52n – 1 chia hết cho 24;

b) n3 + 5n chia hết cho 6.

Bằng cách tô màu trên lưới ô vuông như hình dưới đây,

một học sinh phát hiện ra công thức sau:

1 + 3 + 5 + 7 +... + (2n – 1) = n². (1)

a) Hãy chỉ ra công thức (1) đúng với n = 1, 2, 3, 4, 5.

b) Từ việc tô màu trên lưới ô vuông như Hình 1, bạn học sinh khẳng định rằng công thức (1) chắc chắn đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1. Khẳng định như vậy đã thuyết phục chưa? Tại sao?

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 2:

(Công thức lãi kép) Một khoản tiền A đồng (gọi là vốn) được gửi tiết kiệm có kì hạn ở một ngân hàng theo thể thức lãi kép (tiền lãi sau mỗi kì hạn nếu không rút ra thì được cộng vào vốn của kì kế tiếp). Giả sử lãi suất theo kì là r không đổi qua các kì hạn, người gửi không rút tiền vốn và lãi trong suốt các kì hạn đề cập sau đây. Gọi T_n là tổng số tiền vốn và lãi của người gửi sau kì hạn thứ $n(n\in {\mathbb{N}}^{*})$.

a) Tính T₁, T₂, T₃.

b) Từ đó, dự đoán công thức tính T_n và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp toán học.

Trong một trò chơi domino, các quân domino được xếp theo thứ tự từ quân đầu tiên đến quân cuối cùng. Biết rằng xảy ra hai điều sau:

1) Quân domino đầu tiên đồ;

2) Nếu quân thứ k đồ thì quân thứ k + 1 đổ.

Có thể kết luận rằng tất cả các quân domino đều đổ không? Hãy giải thích.

Chứng minh rằng nếu x > –1 thì (1 + x)n ≥ 1 + nx với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 3: 2n + 1 > n2 + n + 2.

Cho a, b ≥ 0. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với mọi $n\in \mathbb{N}*$:

$\frac{a^n+b^n}{2}\ge {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^n\text{. }$