Cho hình chóp S.ABC có $AB=4a,BC=3\sqrt{2}a,$ $\widehat{ABC}=45°;\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90°$; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng $\frac{\sqrt{2}}{4}.$ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng

Một hộp có 6 viên bi xanh, 4 viên bi đỏ và 5 viên bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 5 viên bi trong hộp, tính xác suất để 5 viên bi được chọn có đủ ba màu và số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng.

Cho hàm số $y=\frac{ax+b}{cx-1}$ có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Giá trị của tổng $S=a+b+c$ bằng:

Cho phương trình $\left(4{\log }_2^{2}x+{\log }_{2}x-5\right)\sqrt{7^x-m}=0$ (m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m  để phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt?

Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnha, cạnh bên SA = y (y > 0) và vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). Trên cạnh AD lấy điểm M và đặt AM = x (0 < x < a). Tính thể tích lớn nhất của V_max khối chóp S.ABCM biết $x^2+y^2=a^2.$

Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left(x;y\right)$ thỏa mãn $0\le x\le 4000$ và $5\left({25}^y+2y\right)=x+{\log }_5{\left(x+1\right)}^5-4$?

Cho hai mặt phẳng (P)  và (Q)  song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O  bán kính $4\sqrt{3}$ thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. Khi diện tích xung quanh của hình nón là lớn nhất, khoảng cách h giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4 và các cạnh bên của hình chóp tạo với mặt đáy một góc 60^o. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.

Cho hàm số $y=x^3-6x^2+9x+m\left(C\right)$, với m là tham số. Giả sử đồ thị (C) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn $x_1<x_2<x_3$. Khẳng định nào sau đây đúng?

Cho hình thang ABCD vuông tại A và D có CD = 2AB = 2AD = 6. Tính thể tích V của khối tròn xoay sinh ra bởi hình thang ABCD khi quanh xung quanh đường thẳng BC.

Cho hàm số f(x)  liên tục trên đoạn [-4;4] và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới.

Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của tham số m  thuộc đoạn [-4;4] để giá trị lớn nhất của hàm số $g\left(x\right)=\left|f\left(x^3-3x+2\right)+2f\left(m\right)\right|$ có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;1] bằng 5 ?

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có AB = 3a, AC = 4a, BC = 5a, khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và B'C' bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của A'B' và A'C' (tham khảo hình vẽ dưới đây). Thể tích V của khối chóp A.BCNM là

Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số $y=\left|3x^4-m{x}^3+6x^2+m-3\right|$ đồng biến trên khoảng $\left(0;+\infty \right)$?