Chiếc cầu dây văng một nhịp được thiết kế hai bên thành cầu có dạng parabol và được cố định bằng các dây cáp song song.

Dựa vào bản vẽ ở Hình 14, hãy tính chiều dài tổng cộng của các dây cáp dọc ở hai mặt bên. Biết:

- Dây dài nhất là 5m, dây ngắn nhất là 0,8m. Khoảng cách giữa các dây bằng nhau.

- Nhịp cầu dài 30m.

- Cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cáp để neo cố định.

Hình dây văng có dạng parabol, nên ta có hình vẽ sau:

Độ dài của dây cáp tương ứng với tung độ của các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K, L, K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’.

Dây dài nhất tương ứng với điểm A và A’ trên đồ thị. Khi đó A(-15; 5) và A’(15; 5).

Dây ngắn nhất trên đồ thị tương ứng với điểm L trên đồ thị. Khi đó L(0; 0,8).

Gọi hàm số đi qua các điểm này có dạng y = ax² + bx + c.

Ta có hàm số đi qua A(-15; 5) nên thay x = -15 và y = 5 ta có: 225a – 15b + c = 5;

Ta có hàm số đi qua A(15; 5) nên thay x = 15 và y = 5 ta có: 225a + 15b + c = 5;

Ta có hàm số đi qua điểm L(0; 1) nên thay x = 0 và y = 1 ta có: b + c = 1;

Khi đó ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}225a-15b+c=5\\ 225a+15b+c=5\\ c=1\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{225}\\ b=0\\ c=1\end{array}\right.$.

Suy ra ta có hàm số y = $\frac{4}{225}$x² + 1.

Hàm số có trục đối xứng là x = 0 hay chính là trục tung. Do đó các điểm A, B, C, D, E, F, G, H, I, K đối xứng với các điểm A’, B’, C’, D’, E’, F’, G’, H’, I’, K’ qua trục tung. Vì thế các điểm này có cùng tung đ

Vì nhịp cầu dài 30 m nên khoảng cách giữa các dây cáp là: 30: 20 = 1,5 m.

Do đó hoành độ các điểm K’, I’, H’, G’, F’, E’, D’, C’, B’, A’ lần lượt là:

x_K’ = 1,5 ⇒ y_K’ = $\frac{26}{25}$ ⇒ K’$\left(\frac{3}{2};\frac{26}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm K và K’ là $\frac{26}{25}$.

x_I’ = 3 ⇒ y_I’ = $\frac{29}{25}$ ⇒ I’$\left(3;\frac{29}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm I và I’ là $\frac{29}{25}$.

x_H’ = 4,5 ⇒ y_H’ = $\frac{34}{25}$ ⇒ H’$\left(\frac{9}{2};\frac{34}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm H và H’ là $\frac{34}{25}$.

x_G’ = 6 ⇒ y_G’ = $\frac{41}{25}$ ⇒ G’$\left(6;\frac{41}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm G và G’ là $\frac{41}{25}$.

x_F’ = 7,5 ⇒ y_F’ = 2 ⇒ F’$\left(\frac{15}{2};2\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm F và F’ là 2.

x_E’ = 9 ⇒ y_E’ = $\frac{61}{25}$ ⇒ E’$\left(9;\frac{61}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm E và E’ là $\frac{61}{25}$.

x_D’ = 10,5 ⇒ y_D’ = $\frac{74}{25}$ ⇒ D’$\left(\frac{21}{2};\frac{74}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm D và D’ là $\frac{74}{25}$.

x_C’ = 12 ⇒ y_C’ = $\frac{89}{25}$ ⇒ C’$\left(12;\frac{89}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm H’ là $\frac{89}{25}$.

x_B’ = 13,5 ⇒ y_B’ = $\frac{106}{25}$ ⇒ B’$\left(\frac{27}{2};\frac{106}{25}\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm B và B’ là $\frac{106}{25}$.

x_A’ = 15 ⇒ y_A’ = 5 ⇒ A’$\left(15;5\right)$. Do đó độ dài dây cáp ở điểm A và A’ là 5.

Vì cần tính thêm 5% chiều dài mỗi sợi dây cap để neo cố định nên tổng độ dài các dây cáp là:

$2.\left(\frac{26}{25}+\frac{29}{25}+\frac{34}{25}+\frac{41}{25}+2+\frac{61}{25}+\frac{74}{25}+\frac{89}{25}+\frac{106}{25}+5\right)+2.\left(\frac{26}{25}+\frac{29}{25}+\frac{34}{25}+\frac{41}{25}+2+\frac{61}{25}+\frac{74}{25}+\frac{89}{25}+\frac{106}{25}+5\right).0,5\%=\frac{2667}{50}m$

 

Vậy tổng độ dài dây cáp cần dùng $\frac{2667}{50}m.$