Bài 8 đại lượng tỉ lệ nghịch: 27 người làm xong trong 8 ngày
Lớp 7ToánCánh Diều

Giải SGK Toán 7 Bài 8 Cánh diều: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Trả lời nhanh

Hai đại lượng x, y tỉ lệ nghịch khi y = a/x (hay x·y = a, a ≠ 0); a là hệ số tỉ lệ. Khi đó tích x·y không đổi, và tỉ số hai giá trị bất kì của x bằng nghịch đảo tỉ số hai giá trị tương ứng của y: x1/x2 = y2/y1. Mọi bài toán “càng nhiều… càng ít…” trong bài đều giải bằng hai tính chất này.

Tóm tắt kiến thức cần nhớ của Bài 8

  • Định nghĩa: nếu y liên hệ với x theo công thức y = a/x (a là hằng số khác 0) thì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a. Khi đó x cũng tỉ lệ nghịch với y theo cùng hệ số a.
  • Tính chất 1: x1y1 = x2y2 = x3y3 = … = a.
  • Tính chất 2: x1/x2 = y2/y1; x1/x3 = y3/y1; …

Mẹo nhận biết: đại lượng này tăng gấp 2, 3 lần thì đại lượng kia giảm đi 2, 3 lần. Ba cặp quen thuộc: số người làm – thời gian hoàn thành (cùng khối lượng việc, cùng năng suất); vận tốc – thời gian (cùng quãng đường); số răng – số vòng quay của hai bánh răng ăn khớp.

Học kĩ phần lý thuyết ở bài riêng sẽ dễ hơn: xem tại đây. Nếu cần ôn lại bài trước, xem Bài 7: Đại lượng tỉ lệ thuận; phần lý thuyết đầy đủ nằm ở Lý thuyết Đại lượng tỉ lệ nghịch.

Giải Toán 7 trang 64 – Khởi động và Hoạt động 1

Câu hỏi khởi động

Đội 18 công nhân làm xong việc trong 12 ngày. Tăng lên 27 người (năng suất như nhau) thì thời gian giảm đi.

Tổng công việc quy đổi: 18 · 12 = 216 (công của một người). Với 27 người: 216 : 27 = 8 ngày.

Cách trình bày theo tính chất: gọi x là số ngày cần tìm, vì số người và thời gian tỉ lệ nghịch nên 18 · 12 = 27 · x, suy ra x = 8. Chi tiết xem câu hỏi khởi động trang 64.

Hoạt động 1

Công thức v = 240/t, thay lần lượt t:

t (h) 3 4 5 6
v (km/h) 240 : 3 = 80 240 : 4 = 60 240 : 5 = 48 240 : 6 = 40

Nhận xét: t tăng thì v giảm, và v·t luôn bằng 240 (quãng đường AB). Xem thêm Hoạt động 1 trang 64 và tổng hợp Giải Toán 7 trang 64.

Giải Toán 7 trang 65 – Luyện tập vận dụng 1 và Hoạt động 2

Luyện tập vận dụng 1

  1. Công nhân phải làm 1 000 sản phẩm trong x giờ nên mỗi giờ làm y = 1000/x sản phẩm.
  2. Vì x·y = 1000 (hằng số khác 0) nên x, y tỉ lệ nghịch với hệ số tỉ lệ 1000.
  3. x = 10 ⇒ y = 100; x = 20 ⇒ y = 50; x = 25 ⇒ y = 40.

Lời giải đầy đủ: Luyện tập vận dụng 1 trang 65.

Hoạt động 2

Bảng cho x: 20; 18; 15; 5 và y1 = 9.

  • a) Hệ số tỉ lệ a = x1y1 = 20 · 9 = 180.
  • b) y = 180/x nên y2 = 180 : 18 = 10; y3 = 180 : 15 = 12; y4 = 180 : 5 = 36.
  • c) Các tích 20·9, 18·10, 15·12, 5·36 đều bằng 180.
  • d) x1/x2 = 20/18 = 10/9 = y2/y1; x1/x3 = 20/15 = 4/3 = 12/9 = y3/y1; x3/x4 = 15/5 = 3 = 36/12 = y4/y3.

Từ đây rút ra hai tính chất ở phần tóm tắt. Xem Hoạt động 2 trang 65 và Giải Toán 7 trang 65.

Giải Toán 7 trang 66, 67 – Các bài Luyện tập vận dụng

Luyện tập vận dụng 2 (ô tô đi AB)

Dự định 6 giờ; vận tốc thực tế gấp 4/3 vận tốc dự định. Vận tốc và thời gian trên cùng quãng đường tỉ lệ nghịch nên tthực/6 = vdự định/vthực = 3/4.

Suy ra tthực = 6 · 3/4 = 4,5 giờ, tức 4 giờ 30 phút. Lời giải đầy đủ: Luyện tập vận dụng 2 trang 66, tổng hợp Giải Toán 7 trang 66.

Luyện tập vận dụng 3 và 4 (trang 67)

Đề 3 là bài xưởng may 56 công nhân làm trong 21 ngày, sau đó yêu cầu hoàn thành sớm hơn; đề 4 là ba bánh răng có 12; 24; 18 răng ăn khớp nhau. Số liệu cụ thể xem ở lời giải chi tiết: Luyện tập vận dụng 3, Luyện tập vận dụng 4, Giải Toán 7 trang 67.

Cách làm chung, minh hoạ bằng số tự đặt:

  • Dạng công nhân – ngày (ví dụ tự đặt): 56 công nhân làm 21 ngày, muốn xong trong 14 ngày thì cần 56 · 21 : 14 = 84 công nhân, tức tăng thêm 28 người.
  • Dạng bánh răng (ví dụ tự đặt): bánh răng 12 răng quay 30 vòng/phút ăn khớp với bánh 24 răng. Số răng × số vòng quay không đổi nên bánh 24 răng quay 12 · 30 : 24 = 15 vòng/phút.

Giải Toán 7 trang 68 – Bài tập cuối bài

Bài 1: Xét hai đại lượng cho bởi bảng

Muốn biết x, y có tỉ lệ nghịch hay không, tính các tích x·y ở mọi cột. Nếu tất cả bằng một số khác 0 thì có, hệ số tỉ lệ chính là số đó; chỉ cần một tích lệch là không. Bảng cụ thể xem Bài 1 trang 68.

Bài 2: x = 36 thì y = 15

Hệ số tỉ lệ a = 36 · 15 = 540, nên y = 540/x. Mọi câu hỏi tiếp theo (tìm y khi biết x và ngược lại) chỉ là thay vào công thức này. Xem Bài 2 trang 68.

Bài 3: Nhóm thợ xây nhà

Nhóm 35 người xây hết 168 ngày; một số người không đi làm nên số người giảm, thời gian tăng. Cách làm: số người mới × số ngày mới = 35 · 168 = 5 880. Ví dụ tự đặt: nếu còn 30 người thì cần 5 880 : 30 = 196 ngày. Số người vắng thực tế xem Bài 3 trang 68.

Bài 4: Chị Lan mua hoa

Giá hoa tăng 25% nên giá mới bằng 125% = 5/4 giá cũ. Với cùng số tiền, số bông và giá một bông tỉ lệ nghịch nên số bông mua được = 10 : 5/4 = 10 · 4/5 = 8 bông. Xem Bài 4 trang 68.

Bài 5, 6, 7: Bài toán thực tế

  • Bài 5: thành tích bơi 400 m của Nguyễn Thị Ánh Viên, vận tốc và thời gian tỉ lệ nghịch trên cùng quãng đường.
  • Bài 6: tàu cao tốc Nhật Bản 300 km/h, so sánh thời gian đi với phương tiện khác trên cùng quãng đường.
  • Bài 7: bánh răng 40 răng, quay 15 vòng/phút. Bánh răng thứ hai có n răng thì quay 40 · 15 : n = 600/n vòng/phút.

Đáp án từng câu có ở các bài liên kết. Cả trang gom lại ở Giải Toán 7 trang 68.

Lỗi sai thường gặp

  • Nhầm thuận với nghịch: thấy “tăng” ở cả hai đại lượng là vội nhân chéo kiểu tỉ lệ thuận. Hãy tự hỏi: số người tăng thì thời gian tăng hay giảm?
  • Viết ngược tỉ số: với tỉ lệ nghịch, x1/x2 = y2/y1 (đảo vị trí), không phải y1/y2.
  • Quên đổi đơn vị: 4,5 giờ phải đổi thành 4 giờ 30 phút nếu đề hỏi theo giờ phút; giá tăng 25% phải đổi thành hệ số 1,25.
  • Tính số người “tăng thêm”: kết quả tìm được là số người cần có, cuối bài phải trừ số người ban đầu.

Bài luyện tập có đáp án (tự đặt)

  1. 12 người làm xong một việc trong 15 ngày. Hỏi 20 người (năng suất như nhau) làm xong trong bao nhiêu ngày? Đáp án: 12 · 15 : 20 = 9 ngày.
  2. x, y tỉ lệ nghịch; x = 4 thì y = 15. Tìm x khi y = 6. Đáp án: a = 60; x = 60 : 6 = 10.
  3. Xe A đi từ M đến N với vận tốc 40 km/h hết 3 giờ. Xe B đi với vận tốc 60 km/h thì hết bao lâu? Đáp án: 40 · 3 : 60 = 2 giờ.

Tài liệu cùng bài học

Cùng chuyên đề: Mục lục khác cùng môn, lớp: Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 đầy đủ, chi tiết; Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2: mục lục đầy đủ 9 chương; Lý thuyết Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song – Toán 7 KNTT.

Câu hỏi thường gặp

Hai đại lượng tỉ lệ nghịch khác tỉ lệ thuận ở điểm nào?

Tỉ lệ thuận: y = kx, thương y/x không đổi, đại lượng này tăng thì đại lượng kia tăng. Tỉ lệ nghịch: y = a/x, tích x·y không đổi, đại lượng này tăng thì đại lượng kia giảm.

Làm sao tìm hệ số tỉ lệ của hai đại lượng tỉ lệ nghịch?

Lấy tích của một cặp giá trị tương ứng: a = x·y. Ví dụ x = 36, y = 15 thì a = 540.

Số công nhân tăng gấp đôi thì thời gian làm việc thay đổi thế nào?

Thời gian giảm đi một nửa, vì số công nhân và thời gian hoàn thành cùng một công việc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch (khi năng suất mỗi người như nhau).

Khi giải toán tỉ lệ nghịch nên dùng tính chất nào?

Dùng x₁·y₁ = x₂·y₂ cho nhanh: tích số người và số ngày, hoặc tích vận tốc và thời gian, là hằng số, rồi chia để tìm đại lượng chưa biết.

Bài học liên quan