Lý thuyết Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song – Toán 7 KNTT

Bài 10 thuộc Chương III “Góc và đường thẳng song song” (Toán 7 Kết nối tri thức). Ở bài trước các em học dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, tức là đi từ góc bằng nhau đến song song. Bài này làm chiều ngược lại: đã biết song song thì suy ra các góc bằng nhau. Nắm chắc hai chiều này thì hầu hết bài tính góc ở lớp 7 sẽ trở nên dễ.

1. Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Phát biểu: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.

Ví dụ: Cho điểm M không nằm trên đường thẳng a. Bằng thước và êke, ta luôn vẽ được một đường thẳng b đi qua M và song song với a. Tiên đề Euclid khẳng định: dù ai vẽ, vẽ bằng cách nào, cũng chỉ ra đúng đường thẳng b đó, không có đường thứ hai.

Vì sao gọi là “tiên đề”?

Tiên đề là một khẳng định được thừa nhận là đúng mà không chứng minh, dùng làm nền móng để chứng minh các định lí khác. Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid đã đưa khẳng định về đường song song vào hệ thống hình học của mình, nên ta gọi theo tên ông. Các em không cần (và không thể) chứng minh tiên đề này, chỉ cần biết dùng nó.

Hệ quả: cắt một thì cắt cả hai

Nếu một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng cắt đường thẳng còn lại.

Vì sao? Giả sử a // b và đường thẳng c cắt a tại điểm M. Nếu c không cắt b thì c // b. Khi đó qua M (nằm ngoài b) có hai đường thẳng a và c cùng song song với b, trái với tiên đề Euclid. Vậy c phải cắt b.

2. Tính chất của hai đường thẳng song song

Quan sát hình dưới đây: a // b, đường thẳng c cắt a tại A và cắt b tại B, tạo ra 8 góc được đánh số như trong hình.

Tính chất: Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:

• Hai góc so le trong bằng nhau: ∠A₃ = ∠B₁; ∠A₄ = ∠B₂.
• Hai góc đồng vị bằng nhau: ∠A₁ = ∠B₁; ∠A₂ = ∠B₂; ∠A₃ = ∠B₃; ∠A₄ = ∠B₄.

Kết hợp với góc kề bù, ta suy ra thêm: hai góc trong cùng phía bù nhau, tức ∠A₃ + ∠B₂ = 180° và ∠A₄ + ∠B₁ = 180°. Tính chất này không phát biểu riêng trong bài nhưng dùng rất nhiều khi giải bài tập.

Vì sao tính chất này đúng?

Giả sử a // b nhưng ∠A₄ ≠ ∠B₂. Qua A ta vẽ đường thẳng a’ sao cho góc so le trong tạo bởi a’ bằng ∠B₂. Theo dấu hiệu nhận biết, a’ // b. Như vậy qua A có hai đường a và a’ cùng song song với b, trái tiên đề Euclid. Do đó a’ trùng a và ∠A₄ = ∠B₂. Đây chính là chỗ tiên đề Euclid “làm việc”.

3. Hai hệ quả quan trọng

Hệ quả 1: Vuông góc với một thì vuông góc với cả hai

Nếu a // b và c ⊥ a thì c ⊥ b.

Giải thích: c cắt a nên c cắt b (hệ quả của tiên đề). Góc đồng vị tại B bằng góc tại A, mà góc tại A bằng 90°, nên góc tại B cũng bằng 90°.

Hệ quả 2: Cùng song song với đường thứ ba

Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau: a // c, b // c (a khác b) ⇒ a // b.

Giải thích: Nếu a và b cắt nhau tại một điểm M thì qua M có hai đường cùng song song với c, trái tiên đề Euclid. Vậy a và b không có điểm chung, tức a // b.

4. Phân biệt “tính chất” và “dấu hiệu nhận biết”

Đây là chỗ nhiều bạn viết lí do bị nhầm. Hãy nhìn chiều suy luận:

	Dấu hiệu nhận biết (Bài 9)	Tính chất (Bài 10)
Giả thiết	Có cặp góc so le trong (hoặc đồng vị) bằng nhau	Hai đường thẳng song song
Kết luận	Hai đường thẳng song song	Các cặp góc so le trong, đồng vị bằng nhau
Dùng khi	Cần chứng minh a // b	Cần tính góc hoặc chứng minh hai góc bằng nhau

Mẹo nhớ: “Góc → song song” là dấu hiệu; “song song → góc” là tính chất. Khi viết lời giải, ghi rõ: “Vì a // b nên ∠A₄ = ∠B₂ (hai góc so le trong)”.

Ôn lại dấu hiệu nhận biết tại Lý thuyết Bài 9: Hai đường thẳng song song và dấu hiệu nhận biết.

5. Các dạng bài thường gặp và ví dụ giải

Dạng 1: Tính số đo góc khi biết hai đường thẳng song song

Phương pháp: Từ góc đã biết, dùng lần lượt góc đối đỉnh, kề bù trong cùng một giao điểm; sau đó “chuyển” sang giao điểm kia bằng so le trong hoặc đồng vị.

Ví dụ 1. Trong hình trên, a // b và ∠A₁ = 125°. Tính các góc còn lại.

Lời giải.

• ∠A₃ = ∠A₁ = 125° (đối đỉnh).
• ∠A₂ = 180° − 125° = 55° (kề bù với ∠A₁); ∠A₄ = ∠A₂ = 55° (đối đỉnh).
• Vì a // b nên ∠B₁ = ∠A₁ = 125°, ∠B₂ = ∠A₂ = 55°, ∠B₃ = ∠A₃ = 125°, ∠B₄ = ∠A₄ = 55° (các cặp góc đồng vị).

Kiểm tra: ∠A₄ = ∠B₂ = 55° (so le trong) và ∠A₄ + ∠B₁ = 55° + 125° = 180° (trong cùng phía bù nhau). Đúng.

Nhận xét hay: 8 góc trong hình chỉ nhận hai giá trị, một góc nhọn và một góc tù, và hai giá trị này bù nhau. Biết một góc là biết cả tám.

Dạng 2: Chứng minh vuông góc, song song bằng hệ quả

Ví dụ 2. Cho m // n. Đường thẳng d vuông góc với m. Đường thẳng p (khác n) vuông góc với d. Chứng minh p // n.

Lời giải. Vì m // n và d ⊥ m nên d ⊥ n (hệ quả 1). Ta có p ⊥ d và n ⊥ d, nên p và n cùng vuông góc với d, suy ra p // n (hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song – kiến thức Bài 9).

Dạng 3: Dùng tiên đề Euclid để chứng minh thẳng hàng hoặc trùng nhau

Ví dụ 3. Điểm M nằm ngoài đường thẳng a. Bạn Lan vẽ đường thẳng MA // a, bạn Minh vẽ đường thẳng MB // a (A, B khác M). Chứng minh ba điểm M, A, B thẳng hàng.

Lời giải. Qua M nằm ngoài a, theo tiên đề Euclid chỉ có một đường thẳng song song với a. Do đó đường thẳng MA và đường thẳng MB trùng nhau, nghĩa là A, B cùng nằm trên một đường thẳng qua M. Vậy M, A, B thẳng hàng.

Dạng 4: Kẻ thêm đường song song để tính góc

Ví dụ 4 (chuẩn bị cho Bài 12). Cho tam giác ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC (tia Ax nằm cùng phía với B, tia Ay nằm cùng phía với C). Chứng minh ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°.

Lời giải. Vì xy // BC nên ∠xAB = ∠ABC và ∠yAC = ∠ACB (các cặp góc so le trong). Ba góc xAB, BAC, CAy ghép lại thành góc bẹt xAy nên tổng bằng 180°. Thay vào ta được ∠ABC + ∠BAC + ∠ACB = 180°.

Đây chính là định lí tổng ba góc trong tam giác mà các em sẽ học ở Bài 12: Tổng các góc trong một tam giác. Kẻ thêm đường song song là kĩ thuật rất mạnh, nên nhớ.

6. Lỗi sai thường gặp

• Dùng tính chất khi chưa có song song. Hai đường thẳng bất kì bị cắt bởi đường thứ ba thì góc so le trong chưa chắc bằng nhau. Chỉ được viết “so le trong bằng nhau” khi đề cho, hoặc đã chứng minh, hai đường thẳng song song.
• Nhầm góc trong cùng phía là bằng nhau. Góc trong cùng phía bù nhau (tổng 180°), không bằng nhau.
• Quên điều kiện “phân biệt” ở hệ quả 2. Nếu a và b trùng nhau thì không nói a // b.
• Xác định sai cặp góc. Góc so le trong nằm giữa hai đường thẳng và ở hai phía của cát tuyến; góc đồng vị nằm cùng vị trí tương ứng tại hai giao điểm. Nên đánh số góc lên hình trước khi lập luận.
• Hiểu sai tiên đề thành “chỉ vẽ được một đường thẳng song song với a”. Thực tế có vô số đường song song với a; tiên đề chỉ nói qua một điểm cho trước thì có đúng một đường.

7. Bài luyện tập có đáp án

Bài 1 (trắc nghiệm). Qua điểm A nằm ngoài đường thẳng d, có bao nhiêu đường thẳng song song với d?

A. Không có; B. Đúng một; C. Hai; D. Vô số.

Đáp án: B. Đây chính là nội dung tiên đề Euclid. Phương án D sai vì “vô số” là số đường thẳng song song với d nói chung, không phải qua một điểm.

Bài 2. Dùng kí hiệu góc như hình 1, a // b. Biết ∠A₁ − ∠A₂ = 70°. Tính ∠B₃ và ∠B₄.

Đáp án. ∠A₁ + ∠A₂ = 180° (kề bù), kết hợp hiệu bằng 70° ta được ∠A₁ = 125°, ∠A₂ = 55°. Khi đó ∠A₃ = 125°, ∠A₄ = 55° (đối đỉnh). Vì a // b nên ∠B₃ = ∠A₃ = 125°, ∠B₄ = ∠A₄ = 55° (đồng vị).

Bài 3. Dùng kí hiệu như hình 1, a // b. Biết ∠A₃ = 2x + 10° và ∠B₂ = x + 20°. Tìm x và số đo hai góc.

Đáp án. ∠A₃ và ∠B₂ là hai góc trong cùng phía nên bù nhau: (2x + 10°) + (x + 20°) = 180°, suy ra 3x = 150°, x = 50°. Vậy ∠A₃ = 110°, ∠B₂ = 70°.

Bài 4. Cho ba đường thẳng phân biệt a, b, c thỏa mãn a // b và b // c. Đường thẳng d vuông góc với a. Hỏi d có vuông góc với c không? Vì sao?

Đáp án. Có. Vì a // b và b // c (a, c phân biệt) nên a // c (hệ quả 2). Mà d ⊥ a nên d ⊥ c (hệ quả 1).

8. Tóm tắt cần nhớ

1. Qua một điểm ngoài đường thẳng: đúng một đường song song (tiên đề Euclid).
2. Cắt một trong hai đường song song thì cắt đường còn lại.
3. Song song ⇒ so le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau.
4. Vuông góc với một trong hai đường song song ⇒ vuông góc với đường kia.
5. Hai đường phân biệt cùng song song với đường thứ ba ⇒ song song với nhau.

Tài liệu học tiếp

• Giải SGK Toán 7 Bài 10 (Kết nối tri thức)
• Giải SBT Toán 7 Bài 10
• Vở thực hành Toán 7 Bài 10
• Trắc nghiệm Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song
• Bài tập Tiên đề Euclid có đáp án
• Lý thuyết Bài 11: Định lí và chứng minh định lí
• Lý thuyết Toán 7 Chương 3: Góc và đường thẳng song song
• Lý thuyết Toán 7 – Kết nối tri thức (cả năm)

Câu hỏi thường gặp

Tiên đề Euclid phát biểu như thế nào?

Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng, chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó. Đây là khẳng định được thừa nhận, không cần chứng minh.

Hai đường thẳng song song có những tính chất gì?

Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau, hai góc đồng vị bằng nhau, và hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng 180°).

Tính chất và dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song khác nhau ở đâu?

Dấu hiệu nhận biết đi từ góc bằng nhau để kết luận hai đường thẳng song song. Tính chất thì ngược lại: đã biết hai đường thẳng song song mới suy ra các góc bằng nhau. Muốn chứng minh song song thì dùng dấu hiệu, muốn tính góc thì dùng tính chất.

Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì sao?

Nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại, vì nó cắt cả hai đường và các góc đồng vị bằng nhau, cùng bằng 90°.

Bài học liên quan

• Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2: mục lục đầy đủ 9 chương
• Giải bài tập cuối chương 2 Toán 7 Cánh diều (trang 69, 70): đủ 17 bài
• Số lỗi chính tả bài kiểm tra Anh văn lớp 7B: cách giải bài thống kê
• Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài tập cuối chương 2 (trang 45, 8 bài)
• Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 – Mục lục đủ 10 chương
• Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 đầy đủ, chi tiết