Lý thuyết Tổng các góc trong một tam giác – Toán 7 Kết nối tri thức
Lớp 7ToánKết nối tri thức

Lý thuyết Tổng các góc trong một tam giác – Toán 7 Kết nối tri thức

Trả lời nhanh

Tổng ba góc của một tam giác bất kì luôn bằng 180°. Ta chứng minh bằng cách kẻ qua một đỉnh đường thẳng song song với cạnh đối diện, rồi dùng tính chất hai góc so le trong bằng nhau. Từ đó suy ra: mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó, và trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

1. Tổng ba góc trong một tam giác

Định lí: Trong tam giác ABC, ta luôn có ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Dù tam giác to hay nhỏ, nhọn, vuông hay tù, kết quả vẫn không đổi.

Bạn có thể kiểm tra bằng thực nghiệm: vẽ một tam giác trên giấy, cắt rời ba góc rồi ghép ba đỉnh sát nhau. Ba góc sẽ tạo thành một góc bẹt, tức là 180°. Tuy nhiên thực nghiệm chỉ để làm quen, còn trong bài làm ta phải dựa vào chứng minh.

2. Chứng minh định lí

Qua đỉnh A của tam giác ABC, kẻ đường thẳng MN song song với BC (M nằm về phía B, N nằm về phía C). Gọi ba góc tại A là A1 = ∠MAB, A2 = ∠BAC và A3 = ∠CAN.

Tam giác ABC với đường thẳng MN đi qua A song song với BC, các góc A1, A2, A3
Kẻ MN song song BC qua A: góc A1 bằng góc B, góc A3 bằng góc C (so le trong).
  1. MN // BC nên ∠B = A1 (hai góc so le trong).
  2. MN // BC nên ∠C = A3 (hai góc so le trong).
  3. Ba góc A1, A2, A3 ghép lại thành góc bẹt MAN nên A1 + A2 + A3 = 180°.
  4. Thay A1 = ∠B và A3 = ∠C, ta được ∠B + ∠A + ∠C = 180°.

Mẹo nhớ: ý tưởng của chứng minh là “chuyển” hai góc B và C lên đỉnh A, nơi chúng nằm cạnh góc A và cùng tạo thành một góc bẹt.

3. Góc ngoài của tam giác

Góc ngoài của tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác. Chẳng hạn kéo dài cạnh BC về phía C đến điểm D, khi đó ∠ACD kề bù với ∠ACB nên ∠ACD là góc ngoài tại đỉnh C.

Tam giác ABC có cạnh BC kéo dài đến D, góc ngoài ACD
Góc ngoài ACD kề bù với góc ACB và bằng tổng hai góc trong A và B.

Tính chất: Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó. Với hình trên: ∠ACD = ∠A + ∠B.

Vì sao đúng? Ta có ∠ACD + ∠ACB = 180° (hai góc kề bù) và ∠A + ∠B + ∠ACB = 180° (tổng ba góc). Hai đẳng thức cùng bằng 180° nên ∠ACD = ∠A + ∠B.

Hệ quả: góc ngoài luôn lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó.

4. Phân loại tam giác theo góc

Loại tam giác Đặc điểm về góc Ví dụ
Tam giác nhọn Cả ba góc đều nhọn (nhỏ hơn 90°) 70°; 60°; 50°
Tam giác vuông Có một góc vuông (bằng 90°) 90°; 35°; 55°
Tam giác tù Có một góc tù (lớn hơn 90°) 120°; 35°; 25°

Trong tam giác vuông, hai cạnh kề góc vuông gọi là cạnh góc vuông, cạnh đối diện góc vuông gọi là cạnh huyền. Hai góc có tổng bằng 90° gọi là hai góc phụ nhau, vì vậy trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau.

5. Những hệ quả nên nhớ

  • Một tam giác có nhiều nhất một góc vuông hoặc một góc tù. Nếu có hai góc từ 90° trở lên thì tổng đã vượt 180°.
  • Mỗi tam giác có ít nhất hai góc nhọn.
  • Biết hai góc của tam giác thì tính được góc còn lại: góc thứ ba = 180° − (tổng hai góc đã biết).
  • Tam giác có ba góc bằng nhau thì mỗi góc bằng 180° : 3 = 60°.

6. Ví dụ minh hoạ

Ví dụ 1. Tam giác ABC có ∠A = 48°, ∠B = 67°. Tính ∠C và cho biết loại tam giác.

Giải: ∠C = 180° − 48° − 67° = 65°. Cả ba góc 48°, 67°, 65° đều nhỏ hơn 90° nên ABC là tam giác nhọn.

Ví dụ 2. Ba góc của một tam giác tỉ lệ với 1 : 2 : 3. Tính số đo mỗi góc.

Giải: gọi các góc là x, 2x, 3x. Ta có x + 2x + 3x = 180°, suy ra 6x = 180° nên x = 30°. Ba góc là 30°, 60°, 90°, nên đây là tam giác vuông.

Ví dụ 3. Tam giác DEF có ∠E = 55°, ∠F = 72°. Tính góc ngoài tại đỉnh D.

Giải: góc ngoài tại D bằng tổng hai góc trong không kề, tức là 55° + 72° = 127°. Kiểm tra: ∠D = 180° − 55° − 72° = 53° và 180° − 53° = 127°. Hai cách cho cùng kết quả.

Ví dụ 4. Tam giác ABC vuông tại A có ∠B gấp đôi ∠C. Tính ∠B và ∠C.

Giải: hai góc nhọn phụ nhau nên ∠B + ∠C = 90°. Mà ∠B = 2∠C nên 3∠C = 90°, suy ra ∠C = 30° và ∠B = 60°.

7. Lỗi sai thường gặp

  • Quên ghi lý do: mỗi dòng tính góc nên kèm “(tổng ba góc trong tam giác)” hoặc “(góc ngoài của tam giác)” để được trọn điểm.
  • Nhầm góc ngoài với góc trong: góc ngoài phải kề bù với một góc trong, nên nó bằng 180° trừ góc trong đó, không phải tổng ba góc.
  • Cộng nhầm góc không kề: góc ngoài tại C chỉ bằng ∠A + ∠B, không được cộng thêm ∠C.
  • Kết luận loại tam giác khi chưa tính đủ ba góc: phải tìm góc còn lại rồi so sánh với 90°.
  • Quên phương trình khi có ẩn lặp lại: nếu hai góc cùng bằng x thì viết 2x chứ không viết x2.

8. Bài tập tự luyện

Bài 1. Một tam giác có hai góc là 35° và 85°. Tính góc thứ ba và cho biết đó là tam giác gì.

Bài 2. Tam giác MNP có ∠M = 120°, ∠N − ∠P = 20°. Tính ∠N và ∠P.

Bài 3. Góc ngoài tại đỉnh C của tam giác ABC bằng 130°, ∠A = 50°. Tính ∠B và ∠ACB.

Đáp án

  • Bài 1: góc thứ ba = 180° − 35° − 85° = 60°. Ba góc 35°, 85°, 60° đều nhọn nên là tam giác nhọn.
  • Bài 2: ∠N + ∠P = 180° − 120° = 60°. Kết hợp ∠N − ∠P = 20° ta có ∠N = (60° + 20°) : 2 = 40° và ∠P = 60° − 40° = 20°.
  • Bài 3: góc ngoài tại C bằng ∠A + ∠B nên ∠B = 130° − 50° = 80°. Góc trong ∠ACB = 180° − 130° = 50° (kề bù). Kiểm tra: 50° + 80° + 50° = 180°.

9. Học tiếp và luyện thêm

Cùng chuyên đề: Bài nằm trong mục lục Lý thuyết Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song – Toán 7 KNTT.

Câu hỏi thường gặp

Tổng 3 góc của 1 tam giác bằng bao nhiêu độ?

Tổng ba góc của một tam giác bất kì luôn bằng 180°, không phụ thuộc vào hình dạng hay kích thước của tam giác.

Góc ngoài của tam giác tính thế nào?

Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó, hoặc bằng 180° trừ đi góc trong kề bù với nó. Hai cách cho cùng kết quả.

Tam giác có thể có hai góc tù không?

Không. Hai góc tù có tổng lớn hơn 180°, vô lí với định lí tổng ba góc bằng 180°. Mỗi tam giác có nhiều nhất một góc tù hoặc một góc vuông.

Trong tam giác vuông, hai góc nhọn có quan hệ gì?

Hai góc nhọn phụ nhau, tức là tổng của chúng bằng 90°, vì góc vuông đã chiếm 90° trong tổng 180°.

Bài học liên quan