Trả lời nhanh
Định lí là một khẳng định đúng, được suy ra (chứng minh) từ những khẳng định đúng đã biết trước đó. Định lí thường có dạng “Nếu … thì …”: phần sau chữ “nếu” là giả thiết (GT), phần sau chữ “thì” là kết luận (KL). Chứng minh định lí là dùng lập luận có căn cứ để đi từ GT đến KL.
1. Định lí là gì?
Trong Toán học, có những điều ta thừa nhận không chứng minh (gọi là tiên đề, ví dụ tiên đề Euclid về đường thẳng song song), và có những điều ta bắt buộc phải chứng minh mới được dùng. Những khẳng định đúng mà ta đã chứng minh được gọi là định lí.
Nói cách khác, định lí là “kết quả đã được kiểm chứng bằng lập luận”, không phải điều đo bằng thước hay nhìn hình rồi đoán.
- Ví dụ định lí: “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.”
- Ví dụ định lí: “Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau.”
- Không phải định lí: “Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” (khẳng định này sai).
2. Giả thiết và kết luận của định lí
Hầu hết định lí được phát biểu dưới dạng “Nếu A thì B”. Khi đó:
| Thành phần | Vị trí trong câu | Kí hiệu | Vai trò |
|---|---|---|---|
| Giả thiết | Giữa “nếu” và “thì” | GT | Điều đã cho, được phép dùng |
| Kết luận | Sau “thì” | KL | Điều cần chứng minh |
Mẹo nhớ: giả thiết là “cho”, kết luận là “cần tìm”. Giống đề bài: phần “Cho …” là GT, phần “Chứng minh rằng …” là KL.
Cách viết lại định lí chưa có dạng “nếu … thì …”
Nhiều định lí được phát biểu gọn, chẳng hạn “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”. Muốn tách GT và KL, ta thêm “nếu … thì …” mà không đổi nghĩa:
“Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau” → “Nếu hai góc đối đỉnh thì hai góc đó bằng nhau”.
Từ đó: GT là hai góc đối đỉnh; KL là hai góc đó bằng nhau.
Viết GT, KL bằng kí hiệu
Sau khi vẽ hình, ta ghi GT và KL bằng kí hiệu hình học, mỗi ý một dòng. Với định lí về góc đối đỉnh:
- GT: góc xOy và góc x′Oy′ là hai góc đối đỉnh.
- KL: góc xOy = góc x′Oy′.
3. Chứng minh định lí
Chứng minh định lí là dùng lập luận để từ giả thiết và các khẳng định đúng đã biết (định nghĩa, tiên đề, định lí trước đó) suy ra kết luận. Mỗi bước suy luận cần có “căn cứ” ghi trong ngoặc.
- Vẽ hình đúng với giả thiết, đặt tên điểm, góc rõ ràng.
- Viết GT, KL bằng kí hiệu.
- Lập luận từng bước: mỗi bước kèm lí do (hai góc kề bù, so le trong, tính chất hai đường thẳng song song…).
- Kết luận đã đạt được điều cần chứng minh.
Ví dụ 1: Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau
Hai đường thẳng xx′ và yy′ cắt nhau tại O. Góc xOy và góc x′Oy′ là hai góc đối đỉnh.
- Góc xOy và góc xOy′ là hai góc kề bù, nên xOy + xOy′ = 180°. Suy ra xOy = 180° − xOy′ (1).
- Góc x′Oy′ và góc xOy′ cũng là hai góc kề bù, nên x′Oy′ + xOy′ = 180°. Suy ra x′Oy′ = 180° − xOy′ (2).
- Từ (1) và (2): xOy = x′Oy′ (cùng bằng 180° − xOy′).
Điểm mấu chốt: cả hai góc đều “bù” với cùng một góc xOy′, nên chúng phải bằng nhau.
Ví dụ 2: Đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song
Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó cũng vuông góc với đường thẳng còn lại.
Gọi hai đường thẳng song song là a và b; đường thẳng c vuông góc với a tại A và cắt b tại B.
- GT: a // b; c ⊥ a tại A; c cắt b tại B.
- KL: c ⊥ b.
Chứng minh. Vì c ⊥ a nên góc tạo bởi c và a tại A bằng 90°. Vì a // b nên hai góc đồng vị tạo bởi c với a và b bằng nhau. Do đó góc tạo bởi c và b tại B cũng bằng 90°, tức là c ⊥ b.
4. Phản ví dụ: cách chứng tỏ một khẳng định là sai
Muốn chứng minh một khẳng định là đúng, ta phải lập luận cho mọi trường hợp. Nhưng muốn chứng tỏ nó sai, chỉ cần tìm một trường hợp thoả giả thiết mà kết luận không đúng. Trường hợp đó gọi là phản ví dụ.
Ví dụ: khẳng định “Hai góc bằng nhau thì đối đỉnh” là sai. Phản ví dụ: hai góc 90° của một góc bẹt chia đôi bởi tia vuông góc. Chúng bằng nhau (cùng 90°) nhưng là hai góc kề bù, không đối đỉnh.
Lưu ý: vài ví dụ đúng không bao giờ đủ để chứng minh một khẳng định; chỉ cần một phản ví dụ là đủ bác bỏ.
5. Phân biệt định lí với các khái niệm dễ nhầm
| Khái niệm | Có cần chứng minh? | Ví dụ |
|---|---|---|
| Định nghĩa | Không, là quy ước về tên gọi | Hai góc kề bù là hai góc kề có tổng bằng 180° |
| Tiên đề | Không, được thừa nhận | Qua một điểm nằm ngoài đường thẳng a, chỉ có một đường thẳng song song với a |
| Định lí | Có, đã được chứng minh | Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau |
6. Lỗi sai thường gặp
- Dùng điều cần chứng minh làm căn cứ. Ví dụ khi chứng minh hai góc đối đỉnh bằng nhau mà lại ghi “vì hai góc đối đỉnh bằng nhau”. Đây là lập luận vòng quanh.
- Nhầm GT và KL. Hãy nhìn vào chữ “nếu” và “thì” để tách cho đúng.
- Suy luận từ hình vẽ. Hình vẽ nhìn như vuông góc hay song song chưa phải là căn cứ; phải có trong GT hoặc suy ra được.
- Thiếu lí do trong ngoặc. Mỗi dòng suy luận nên có căn cứ để bài chứng minh chặt chẽ.
- Dùng ví dụ để “chứng minh” khẳng định đúng. Ví dụ chỉ dùng để bác bỏ (phản ví dụ), không dùng để chứng minh.
7. Bài tập luyện tập có đáp án
Bài 1. Chỉ ra GT và KL của định lí: “Nếu một số tự nhiên chia hết cho 6 thì nó chia hết cho 3.” Hãy chứng minh.
Đáp án. GT: số tự nhiên n chia hết cho 6. KL: n chia hết cho 3. Chứng minh: n chia hết cho 6 nên n = 6k (k là số tự nhiên). Khi đó n = 3 · 2k, mà 2k là số tự nhiên nên n chia hết cho 3.
Bài 2. Phát biểu định lí sau dưới dạng “nếu … thì …”, rồi chứng minh: “Hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì bằng nhau.”
Đáp án. Nếu hai góc cùng bù với một góc thứ ba thì hai góc đó bằng nhau. GT: góc A + góc C = 180°; góc B + góc C = 180°. KL: góc A = góc B. Chứng minh: A = 180° − C và B = 180° − C, nên A = B.
Bài 3. Chứng tỏ khẳng định sau là sai: “Nếu a² = b² thì a = b.”
Đáp án. Chọn a = 3, b = −3. Khi đó a² = 9 = b² nhưng a ≠ b. Đây là một phản ví dụ nên khẳng định sai.
Bài 4. Viết GT, KL của định lí: “Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.”
Đáp án. GT: a, b phân biệt; a // c; b // c. KL: a // b.
8. Tóm tắt cần nhớ
- Định lí là khẳng định đúng đã được chứng minh; thường có dạng “Nếu … thì …”.
- GT nằm giữa “nếu” và “thì”; KL nằm sau “thì”.
- Chứng minh gồm: vẽ hình, ghi GT–KL, lập luận có căn cứ, kết luận.
- Muốn bác bỏ một khẳng định, chỉ cần một phản ví dụ.
Để học tiếp, bạn xem thêm lý thuyết cả chương tại Lý thuyết Toán 7 Chương 3: Góc và đường thẳng song song, làm bài ở Giải SGK Toán 7 Bài 11 và Sách bài tập Toán 7 Bài 11, rồi tự kiểm tra bằng 20 câu trắc nghiệm Định lí và chứng minh định lí. Bài trước đó là Tiên đề Euclid. Tính chất của hai đường thẳng song song.
Câu hỏi thường gặp
Định lí là gì trong Toán 7?
Định lí là một khẳng định đúng được suy ra từ những khẳng định đúng đã biết (định nghĩa, tiên đề, định lí trước đó). Định lí thường có dạng “Nếu … thì …”.
Giả thiết và kết luận của định lí là gì?
Giả thiết (GT) là phần nằm giữa “nếu” và “thì”, là điều đã cho. Kết luận (KL) là phần sau “thì”, là điều cần chứng minh.
Định lí khác tiên đề ở điểm nào?
Tiên đề là khẳng định được thừa nhận, không cần chứng minh. Định lí là khẳng định bắt buộc phải được chứng minh bằng lập luận dựa trên các điều đã biết.
Làm sao chứng tỏ một khẳng định là sai?
Chỉ cần chỉ ra một phản ví dụ, tức là một trường hợp thoả giả thiết nhưng kết luận không đúng. Ví dụ với “Nếu a² = b² thì a = b”, lấy a = 3, b = −3.