Rút gọn phân thức và cách giải bài tập có đáp án – Toán 8

Rút gọn phân thức là gì?

Rút gọn phân thức là biến đổi một phân thức thành phân thức mới bằng nó nhưng tử và mẫu đơn giản hơn, không còn nhân tử chung (khác hằng số). Cơ sở của phép biến đổi là tính chất cơ bản của phân thức: nếu chia cả tử và mẫu cho cùng một đa thức khác 0 thì được phân thức bằng phân thức đã cho.

Nói cách khác, em làm giống hệt khi rút gọn phân số 12/18 = 2/3 (chia cho ước chung 6). Điểm khác là “ước chung” ở đây là một đa thức, nên em phải phân tích đa thức thành nhân tử trước.

Quy trình 4 bước rút gọn phân thức

1. Tìm điều kiện xác định: cho mẫu thức ban đầu khác 0 (phân tích mẫu thành nhân tử rồi loại các giá trị làm từng nhân tử bằng 0).
2. Phân tích tử và mẫu thành nhân tử: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách hạng tử.
3. Tìm và chia nhân tử chung: chú ý đổi dấu khi gặp các cặp như (x − 2) và (2 − x).
4. Viết kết quả kèm điều kiện xác định của phân thức ban đầu.

Mẹo nhớ: “Phân tích – Nhận ra – Chia – Kết luận”. Bước nào em cũng không được bỏ, nhất là bước đầu, vì phân thức rút gọn có thể “nới” điều kiện so với phân thức gốc.

Công cụ phân tích đa thức thành nhân tử hay dùng

Dạng đa thức	Cách phân tích
Có nhân tử chung các hạng tử	Đặt nhân tử chung ra ngoài ngoặc
A2 − B2	(A − B)(A + B)
A2 ± 2AB + B2	(A ± B)2
A3 − B3	(A − B)(A2 + AB + B2)
A3 + B3	(A + B)(A2 − AB + B2)
Tam thức x2 + px + q	Tách px = mx + nx với m·n = q, m + n = p
Đa thức bậc 3 có 4 hạng tử	Nhóm hai hạng tử một, hoặc nhẩm nghiệm nguyên

Dạng 1: Tử và mẫu là đơn thức

Ví dụ 1. Rút gọn (12x³y²)/(18x²y³).

Chia hệ số cho 6, chia phần biến cho x²y²:

(12x³y²)/(18x²y³) = 2x/(3y), với x ≠ 0, y ≠ 0.

Dạng 2: Phân tích bằng hằng đẳng thức

Ví dụ 2. Rút gọn (x² − 9)/(x² + 6x + 9).

Tử: x² − 9 = (x − 3)(x + 3). Mẫu: x² + 6x + 9 = (x + 3)². Điều kiện: x ≠ −3.

Phân thức = (x − 3)(x + 3)/(x + 3)² = (x − 3)/(x + 3).

Dạng 3: Cần đổi dấu để nhận ra nhân tử chung

Ví dụ 3. Rút gọn (x² − 4x + 4)/(4 − x²).

Tử = (x − 2)². Mẫu = (2 − x)(2 + x) = −(x − 2)(x + 2). Điều kiện: x ≠ 2 và x ≠ −2.

Phân thức = (x − 2)²/[−(x − 2)(x + 2)] = −(x − 2)/(x + 2) = (2 − x)/(x + 2).

Lưu ý: A/B = (−A)/(−B) và (x − 2)/(2 − x) = −1. Cả hai cách viết cuối đều đúng, em chọn cách nào gọn hơn.

Dạng 4: Tam thức bậc hai – tách hạng tử

Ví dụ 4. Rút gọn (x² − 5x + 6)/(x² − x − 6).

• Tử: x² − 5x + 6 = x² − 2x − 3x + 6 = (x − 2)(x − 3).
• Mẫu: x² − x − 6 = x² − 3x + 2x − 6 = (x − 3)(x + 2).
• Điều kiện: x ≠ 3, x ≠ −2.

Kết quả: (x − 2)(x − 3)/[(x − 3)(x + 2)] = (x − 2)/(x + 2).

Chú ý: phân thức rút gọn (x − 2)/(x + 2) vẫn xác định tại x = 3, nhưng phân thức ban đầu thì không. Vì vậy nếu đề cho “tính giá trị tại x = 3” thì em phải loại giá trị này.

Dạng 5: Đa thức bậc ba

Ví dụ 5. Rút gọn (x³ − 8)/(x² − 4).

x³ − 8 = (x − 2)(x² + 2x + 4); x² − 4 = (x − 2)(x + 2); điều kiện x ≠ ±2.

Kết quả: (x² + 2x + 4)/(x + 2). Tử x² + 2x + 4 = (x + 1)² + 3 không phân tích được nữa nên dừng ở đây.

Ví dụ 6. Rút gọn (x³ + 2x² − x − 2)/(x³ + 3x² − 4x − 12).

• Tử: x²(x + 2) − (x + 2) = (x + 2)(x² − 1) = (x + 2)(x − 1)(x + 1).
• Mẫu: x²(x + 3) − 4(x + 3) = (x + 3)(x² − 4) = (x + 3)(x − 2)(x + 2).
• Điều kiện: x ≠ −3, x ≠ 2, x ≠ −2.

Kết quả: (x − 1)(x + 1)/[(x + 3)(x − 2)] = (x² − 1)/[(x + 3)(x − 2)].

Cách kiểm tra nhanh: thay x = 0 vào đề, ta có (−2)/(−12) = 1/6; thay vào kết quả, (−1)/(3·(−2)) = 1/6. Hai giá trị khớp nhau, nên nhiều khả năng em làm đúng.

Dạng 6: Rút gọn có điều kiện của biến

Khi đề cho một hệ thức giữa các biến, hãy tận dụng nó để “viết lại” số 1 hoặc một biểu thức trong mẫu thành tích.

Ví dụ 7. Cho a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = 1 và a + b, b + c, c + a đều khác 0. Rút gọn D = (a² + 1)(b² + 1)/[(a + b)(b + c)(c + a)].

Thay 1 = ab + bc + ca:

• a² + 1 = a² + ab + bc + ca = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c).
• b² + 1 = b² + ab + bc + ca = b(b + a) + c(b + a)… hay nhóm đúng là b(b + c) + a(b + c) = (b + c)(a + b).

Do đó tử = (a + b)(a + c)·(b + c)(a + b). Chia cho mẫu (a + b)(b + c)(c + a), còn lại D = a + b.

Bài học: gặp mẫu có dạng “x² + hằng số” mà đề cho tổng các tích đôi một, hãy thử thay hằng số bằng điều kiện đó.

Dạng 7: Rút gọn rồi tìm giá trị nguyên

Ví dụ 8. Cho Q = (x² − 2x − 8)/(x² − 16). Rút gọn Q và tìm x nguyên để Q nguyên.

Tử: x² − 2x − 8 = (x − 4)(x + 2). Mẫu: x² − 16 = (x − 4)(x + 4). Điều kiện: x ≠ ±4.

Q = (x + 2)/(x + 4) = 1 − 2/(x + 4).

Q nguyên khi 2/(x + 4) nguyên, tức x + 4 là ước của 2: x + 4 ∈ {−2; −1; 1; 2}, suy ra x ∈ {−6; −5; −3; −2}. Cả bốn giá trị đều thoả x ≠ ±4.

x	−6	−5	−3	−2
Q	2	3	−1	0

Em có thể kiểm tra: với x = −6, đề cho (36 + 12 − 8)/(36 − 16) = 40/20 = 2, trùng với bảng.

Những lỗi sai thường gặp

• Gạch bỏ hạng tử thay vì nhân tử. (x + 2)/x không bằng 2; chỉ được gạch khi cả tử và mẫu cùng là tích có nhân tử chung.
• Đổi dấu sai. −(x − 2) = 2 − x, nhưng (x − 2) ≠ (2 − x). Khi đổi dấu một nhân tử trong tích, phải đổi dấu cả phân thức.
• Quên điều kiện. Sau khi rút gọn, điều kiện vẫn phải là điều kiện của phân thức ban đầu.
• Dừng sớm. Kiểm tra tử và mẫu còn nhân tử chung không, ví dụ khi tử còn là hiệu hai bình phương.
• Nhầm hằng đẳng thức. x² + 9 không phân tích được trên tập số thực; x³ − 8 có thừa số thứ hai là x² + 2x + 4, không phải (x + 2)².

Bài luyện tập có đáp án

Em hãy tự làm trước rồi đối chiếu với đáp án bên dưới.

1. Rút gọn (x² − 6x + 9)/(x² − 9).
2. Rút gọn (x³ + x² − x − 1)/(x² + 2x + 1).
3. Rút gọn (x² − 9)/(6 − 2x).
4. Rút gọn (a³ − b³)/(a² − 2ab + b²).
5. Cho R = (x² − 3x + 2)/(x² − 1). Rút gọn R và tìm x nguyên để R nguyên.

Đáp án:

1. (x − 3)²/[(x − 3)(x + 3)] = (x − 3)/(x + 3), với x ≠ ±3.
2. Tử = x²(x + 1) − (x + 1) = (x + 1)(x − 1)(x + 1) = (x + 1)²(x − 1); mẫu = (x + 1)². Kết quả x − 1, với x ≠ −1.
3. Mẫu 6 − 2x = −2(x − 3). Kết quả: (x − 3)(x + 3)/[−2(x − 3)] = −(x + 3)/2, với x ≠ 3.
4. (a − b)(a² + ab + b²)/(a − b)² = (a² + ab + b²)/(a − b), với a ≠ b.
5. Tử = (x − 1)(x − 2), mẫu = (x − 1)(x + 1), điều kiện x ≠ ±1. R = (x − 2)/(x + 1) = 1 − 3/(x + 1). R nguyên khi x + 1 ∈ {±1; ±3}, tức x ∈ {0; −2; 2; −4} (đều thoả điều kiện).

Tài liệu ôn tập liên quan

• Lý thuyết Rút gọn phân thức – Toán 8
• Lý thuyết Phân thức đại số – Toán 8
• Giải Toán 8 Bài 3: Rút gọn phân thức
• Rút gọn phân thức và phương pháp giải
• 50 bài tập Rút gọn phân thức có đáp án
• Chuyên đề Rút gọn phân thức – Toán 8
• 37 câu trắc nghiệm Rút gọn phân thức
• 50 bài tập Phép cộng các phân thức đại số
• 50 bài tập Phép trừ các phân thức đại số
• 50 bài tập Phép nhân các phân thức đại số

Câu hỏi thường gặp

Khi rút gọn phân thức có cần ghi điều kiện xác định không?

Có. Em nên tìm điều kiện để mẫu thức ban đầu khác 0 rồi mới rút gọn. Phân thức sau rút gọn có thể xác định ở những giá trị mà phân thức ban đầu không xác định, nên điều kiện phải giữ theo phân thức gốc.

Làm sao nhận ra cần đổi dấu khi rút gọn phân thức?

Khi tử và mẫu có hai nhân tử đối nhau như (x − 3) và (3 − x), em đổi dấu một nhân tử bằng cách đặt dấu trừ ra ngoài: 3 − x = −(x − 3). Sau đó chia cho nhân tử chung và nhớ giữ dấu trừ ở kết quả.

Phân thức đã rút gọn hết khi nào?

Khi tử và mẫu không còn nhân tử chung nào khác hằng số. Em kiểm tra bằng cách phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử tối đa rồi so sánh các nhân tử, kể cả nhân tử có thể đổi dấu.

Muốn tìm x nguyên để phân thức nhận giá trị nguyên thì làm thế nào?

Rút gọn phân thức, tách phần nguyên (ví dụ (x + 2)/(x + 4) = 1 − 2/(x + 4)), rồi cho mẫu là ước của phần còn lại. Cuối cùng loại các giá trị x không thoả điều kiện xác định.

Bài học liên quan

• Cho a – b = 4 và ab = 3, tính a³ – b³: đáp án và cách giải
• Giải các phương trình: 3x − 2 = 2x − 3; 3 − 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
• Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức: cách làm, ví dụ lớp 8
• Hình lăng trụ đứng tứ giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt?
• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
• Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu cạnh? Đáp án và cách đếm