7 hằng đẳng thức đáng nhớ gồm: bình phương của một tổng (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, bình phương của một hiệu (a − b)2 = a2 − 2ab + b2, hiệu hai bình phương a2 − b2 = (a − b)(a + b), lập phương của một tổng, lập phương của một hiệu, tổng hai lập phương và hiệu hai lập phương. Đây là nhóm công thức nền tảng của Toán 8, dùng để khai triển, rút gọn biểu thức, tính nhanh và phân tích đa thức thành nhân tử. Bài viết trình bày đầy đủ cả 7 công thức kèm cách nhớ, ví dụ giải chi tiết và bài tập có đáp án.
Hằng đẳng thức là gì?
Hằng đẳng thức là một đẳng thức mà hai vế luôn bằng nhau với mọi giá trị của các biến. Chẳng hạn, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 đúng với mọi số thực a và b, vì vậy nó là một hằng đẳng thức. Ngược lại, đẳng thức x + 1 = 3 chỉ đúng khi x = 2, nên đó là một phương trình chứ không phải hằng đẳng thức.
Có 7 đẳng thức xuất hiện thường xuyên nhất nên được gọi là hằng đẳng thức đáng nhớ; thuộc lòng chúng giúp biến đổi biểu thức nhanh hơn nhiều so với nhân từng hạng tử.
Bảng tổng hợp 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
| STT | Tên gọi | Công thức |
|---|---|---|
| 1 | Bình phương của một tổng | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| 2 | Bình phương của một hiệu | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| 3 | Hiệu hai bình phương | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| 4 | Lập phương của một tổng | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| 5 | Lập phương của một hiệu | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| 6 | Tổng hai lập phương | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| 7 | Hiệu hai lập phương | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Trong đó a, b có thể là số, là biến hoặc là cả một biểu thức. Khi áp dụng, bạn chỉ cần xác định đúng “a” và “b” rồi thay vào công thức.
Giải thích chi tiết từng hằng đẳng thức đáng nhớ
1. Bình phương của một tổng
Chứng minh: (a + b)(a + b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2. Phát biểu bằng lời: bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất, cộng hai lần tích hai số, cộng bình phương số thứ hai. Ví dụ: (x + 3)2 = x2 + 6x + 9.
2. Bình phương của một hiệu
Chỉ khác hằng đẳng thức thứ nhất ở dấu của hạng tử giữa; hạng tử cuối b2 luôn mang dấu cộng. Ví dụ: (2x − 5)2 = 4x2 − 20x + 25.
3. Hiệu hai bình phương
Được dùng nhiều nhất khi phân tích đa thức thành nhân tử và tính nhanh tích hai số. Ví dụ: x2 − 16 = (x − 4)(x + 4).
4. Lập phương của một tổng
Hệ số lần lượt là 1, 3, 3, 1; số mũ của a giảm dần từ 3 về 0, số mũ của b tăng dần từ 0 lên 3. Ví dụ: (x + 2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8.
5. Lập phương của một hiệu
Dấu các hạng tử đan xen cộng, trừ, cộng, trừ. Ví dụ: (2x − 1)3 = 8x3 − 12x2 + 6x − 1.
6. Tổng hai lập phương
Biểu thức a2 − ab + b2 gọi là “bình phương thiếu của hiệu” vì chỉ có ab thay cho 2ab. Ví dụ: x3 + 8 = (x + 2)(x2 − 2x + 4).
7. Hiệu hai lập phương
Biểu thức a2 + ab + b2 gọi là “bình phương thiếu của tổng”. Ví dụ: 27 − x3 = (3 − x)(9 + 3x + x2).
Ví dụ vận dụng hằng đẳng thức có lời giải
Ví dụ 1: Tính nhanh
Tính nhanh 1012, 992 và 52 · 48.
- 1012 = (100 + 1)2 = 1002 + 2 · 100 · 1 + 12 = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
- 992 = (100 − 1)2 = 10 000 − 200 + 1 = 9 801.
- 52 · 48 = (50 + 2)(50 − 2) = 502 − 22 = 2 500 − 4 = 2 496.
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức
Rút gọn A = (x + 3)2 − (x − 3)2.
Bước 1: Khai triển (x + 3)2 = x2 + 6x + 9 và (x − 3)2 = x2 − 6x + 9.
Bước 2: Trừ vế theo vế: A = (x2 + 6x + 9) − (x2 − 6x + 9) = 12x.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
Phân tích: a) x2 − 10x + 25; b) 4x2 − 9.
- a) x2 − 10x + 25 = x2 − 2 · x · 5 + 52 = (x − 5)2.
- b) 4x2 − 9 = (2x)2 − 32 = (2x − 3)(2x + 3).
Ví dụ 4: Tính giá trị biểu thức
Tính B = x3 − 6x2 + 12x − 8 tại x = 12.
Nhận thấy B = x3 − 3 · x2 · 2 + 3 · x · 22 − 23 = (x − 2)3. Thay x = 12: B = 103 = 1 000.
Hằng đẳng thức mở rộng thường gặp
Một số dạng mở rộng hay dùng ở lớp 8, lớp 9:
| Dạng mở rộng | Công thức |
|---|---|
| Bình phương tổng ba số | (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca |
| Tổng hai bình phương | a2 + b2 = (a + b)2 − 2ab |
| Tổng hai lập phương (dạng khác) | a3 + b3 = (a + b)3 − 3ab(a + b) |
Ví dụ: cho a + b = 5 và ab = 6. Khi đó a2 + b2 = 25 − 12 = 13 và a3 + b3 = 125 − 3 · 6 · 5 = 35.
Mẹo ghi nhớ 7 hằng đẳng thức
- Nhóm theo số mũ: 3 hằng đẳng thức bậc hai (1, 2, 3) và 4 hằng đẳng thức bậc ba (4, 5, 6, 7).
- Hệ số 1 – 2 – 1 và 1 – 3 – 3 – 1: đây là các hàng trong tam giác Pascal. Bình phương có hệ số 1, 2, 1; lập phương có hệ số 1, 3, 3, 1.
- Quy tắc dấu: với (a − b)2 và (a − b)3, hạng tử nào chứa b mũ lẻ thì mang dấu trừ, chứa b mũ chẵn thì mang dấu cộng.
- Tổng, hiệu hai lập phương: dấu trong ngoặc thứ nhất giống dấu đề bài, còn dấu của hạng tử ab trong ngoặc thứ hai thì ngược lại.
- Tự kiểm tra bằng số: khi không chắc, thay a = 2, b = 1 vào hai vế để so sánh.
Những lỗi hay gặp khi dùng hằng đẳng thức
- Viết (a + b)2 = a2 + b2, quên hạng tử 2ab. Thử với a = b = 1: vế trái bằng 4 còn vế phải bằng 2.
- Nhầm (a − b)2 = a2 − b2. Thực tế a2 − b2 là hiệu hai bình phương, bằng (a − b)(a + b).
- Quên bình phương cả hệ số: (2x)2 = 4x2 chứ không phải 2x2.
- Sai dấu trong ngoặc thứ hai của tổng hai lập phương: viết a3 + b3 = (a + b)(a2 + ab + b2) là sai.
Bài tập tự luyện 7 hằng đẳng thức đáng nhớ
Bài 1. Khai triển (3x + 2)2.
Xem đáp án
(3x + 2)2 = 9x2 + 12x + 4.
Bài 2. Tính nhanh 9982.
Xem đáp án
9982 = (1 000 − 2)2 = 1 000 000 − 4 000 + 4 = 996 004.
Bài 3. Phân tích x2 − 6x + 9 thành nhân tử.
Xem đáp án
x2 − 6x + 9 = (x − 3)2.
Bài 4. Rút gọn (x + 1)3 − (x − 1)3.
Xem đáp án
(x3 + 3x2 + 3x + 1) − (x3 − 3x2 + 3x − 1) = 6x2 + 2.
Bài 5. Phân tích 8x3 − 27 thành nhân tử.
Xem đáp án
8x3 − 27 = (2x)3 − 33 = (2x − 3)(4x2 + 6x + 9).
Bài 6. Tìm x biết x2 − 4x + 4 = 0.
Xem đáp án
x2 − 4x + 4 = (x − 2)2 = 0 nên x − 2 = 0, suy ra x = 2.
Bài 7. Tính giá trị A = x3 + 3x2 + 3x + 1 tại x = 9.
Xem đáp án
A = (x + 1)3 = 103 = 1 000.
Bài 8. Chứng minh x2 − 2x + 2 > 0 với mọi x.
Xem đáp án
x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 + 1. Vì (x − 1)2 ≥ 0 nên biểu thức ≥ 1 > 0 với mọi x.
Câu hỏi thường gặp
7 hằng đẳng thức đáng nhớ được học ở lớp mấy?
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ được học trong chương trình Toán lớp 8 và tiếp tục được sử dụng xuyên suốt Toán 9, Toán THPT cũng như các kỳ thi vào lớp 10.
Hiệu hai bình phương có bằng (a − b)² không?
Không. Hiệu hai bình phương là a² − b² = (a − b)(a + b), còn (a − b)² = a² − 2ab + b² là bình phương của một hiệu.
Làm sao phân biệt (a − b)³ và a³ − b³?
(a − b)³ là lập phương của một hiệu, khai triển thành a³ − 3a²b + 3ab² − b³. Còn a³ − b³ là hiệu hai lập phương, phân tích thành (a − b)(a² + ab + b²).
Có hằng đẳng thức cho bình phương của tổng ba số không?
Có: (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca. Đây là dạng mở rộng của hằng đẳng thức thứ nhất.
Hằng đẳng thức đáng nhớ dùng để làm gì?
Hằng đẳng thức giúp khai triển nhanh các tích, rút gọn biểu thức, tính nhẩm, phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình và chứng minh bất đẳng thức.