Diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng: công thức, ví dụ

Trả lời nhanh

Với lăng trụ đứng có chiều cao h, chu vi đáy là P và diện tích đáy là S_đáy: diện tích xung quanh S_xq = P · h; diện tích toàn phần S_tp = S_xq + 2S_đáy; thể tích V = S_đáy · h. Chỉ cần tìm đúng chu vi và diện tích của đáy là tính được cả ba đại lượng.

Đề bài dạng “tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của lăng trụ đứng có chiều cao h và đáy lần lượt là…” thường cho nhiều loại đáy khác nhau (tam giác, hình thoi, hình thang…). Vì số liệu cụ thể của từng đề có thể khác nhau, bài viết này hướng dẫn phương pháp chung và giải các ví dụ tự đặt để em áp dụng vào đề của mình.

Công thức cần nhớ

Đại lượng	Công thức	Giải thích
Diện tích xung quanh	S_xq = P · h	P là chu vi một đáy, h là chiều cao
Diện tích toàn phần	S_tp = S_xq + 2S_đáy	Cộng thêm hai mặt đáy bằng nhau
Thể tích	V = S_đáy · h	Diện tích đáy nhân chiều cao

Lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có chiều cao h — Lăng trụ đứng đáy tam giác: các mặt bên là hình chữ nhật, chiều cao h là cạnh bên.

Các mặt bên của lăng trụ đứng là những hình chữ nhật có một cạnh là cạnh đáy, cạnh kia là h. Cộng diện tích các hình chữ nhật này: (a + b + c + …) · h = P · h. Đó là lý do công thức S_xq gọn như vậy.

Các bước giải một bài tính lăng trụ đứng

Xác định đáy là hình gì, ghi lại các cạnh và chiều cao h của lăng trụ.
Tính chu vi đáy P (cộng tất cả các cạnh, nhớ cạnh còn thiếu nếu đề chưa cho).
Tính diện tích đáy S_đáy theo công thức tương ứng.
Áp dụng ba công thức ở trên; ghi đơn vị: cm², cm³…

Diện tích đáy theo từng loại

Tam giác: S = ½ · cạnh đáy · chiều cao; tam giác vuông: S = ½ · tích hai cạnh góc vuông.
Hình thoi: S = ½ · tích hai đường chéo; cạnh hình thoi tính bằng Pythagore từ nửa hai đường chéo.
Hình thang: S = ½ · (đáy lớn + đáy nhỏ) · chiều cao.
Hình chữ nhật: S = dài · rộng.

Ví dụ 1: đáy là tam giác vuông

(Số liệu tự đặt.) Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông với hai cạnh góc vuông 3 cm, 4 cm; chiều cao h = 10 cm.

Cạnh huyền: √(3² + 4²) = 5 cm. Chu vi đáy P = 3 + 4 + 5 = 12 cm.
Diện tích đáy: S_đáy = ½ · 3 · 4 = 6 cm².
S_xq = 12 · 10 = 120 cm².
S_tp = 120 + 2 · 6 = 132 cm².
V = 6 · 10 = 60 cm³.

Ví dụ 2: đáy là hình thoi

(Số liệu tự đặt.) Đáy là hình thoi có hai đường chéo 6 cm và 8 cm; chiều cao lăng trụ h = 7 cm.

Hai đường chéo vuông góc tại trung điểm, nên cạnh hình thoi = √(3² + 4²) = 5 cm. Chu vi P = 4 · 5 = 20 cm.
S_đáy = ½ · 6 · 8 = 24 cm².
S_xq = 20 · 7 = 140 cm².
S_tp = 140 + 2 · 24 = 188 cm².
V = 24 · 7 = 168 cm³.

Ví dụ 3: đáy là hình thang vuông

(Số liệu tự đặt.) Đáy là hình thang vuông có hai đáy 4 cm và 7 cm, cạnh bên vuông góc với đáy dài 4 cm; h = 6 cm.

Cạnh bên xiên: hiệu hai đáy là 7 − 4 = 3 cm, chiều cao hình thang 4 cm nên cạnh xiên = √(3² + 4²) = 5 cm.
P = 4 + 7 + 4 + 5 = 20 cm.
S_đáy = ½ · (4 + 7) · 4 = 22 cm².
S_xq = 20 · 6 = 120 cm².
S_tp = 120 + 2 · 22 = 164 cm².
V = 22 · 6 = 132 cm³.

Lỗi sai thường gặp

Nhầm chiều cao: h là chiều cao của lăng trụ (khoảng cách hai đáy), khác với chiều cao của tam giác hay hình thang ở đáy. Hai “chiều cao” này hay bị dùng lẫn.
Quên nhân 2 diện tích đáy khi tính S_tp.
Thiếu cạnh khi tính chu vi, nhất là cạnh xiên của hình thang hoặc cạnh hình thoi.
Sai đơn vị: diện tích dùng cm², thể tích dùng cm³; nếu đề cho lẫn mm và cm thì đổi về cùng đơn vị trước.

Mẹo nhớ: “xung quanh = chu vi nhân cao; toàn phần = xung quanh cộng hai đáy; thể tích = đáy nhân cao”.

Bài luyện tập

Lăng trụ đứng có đáy là tam giác vuông cạnh 6 cm, 8 cm, 10 cm, chiều cao 5 cm. Tính S_xq, S_tp, V.
Lăng trụ đứng có thể tích 150 cm³, diện tích đáy 25 cm². Tính chiều cao.
Lăng trụ đứng đáy là hình chữ nhật 3 cm × 5 cm, chiều cao 4 cm. Tính S_xq, S_tp, V.

Đáp án:

P = 24 cm; S_xq = 24 · 5 = 120 cm²; S_đáy = ½ · 6 · 8 = 24 cm²; S_tp = 120 + 48 = 168 cm²; V = 24 · 5 = 120 cm³.
h = V : S_đáy = 150 : 25 = 6 cm.
P = 2 · (3 + 5) = 16 cm; S_xq = 16 · 4 = 64 cm²; S_tp = 64 + 2 · 15 = 94 cm²; V = 15 · 4 = 60 cm³. (Đây chính là hình hộp chữ nhật nên có thể kiểm tra lại bằng công thức quen thuộc.)

Câu hỏi thường gặp

Công thức tính diện tích toàn phần hình lăng trụ đứng là gì?

S_tp = S_xq + 2S_đáy, trong đó S_xq = chu vi đáy nhân chiều cao h. Nghĩa là lấy diện tích các mặt bên cộng với diện tích hai mặt đáy.

Chiều cao h của lăng trụ đứng có phải là chiều cao của tam giác đáy không?

Không. h là độ dài cạnh bên, tức khoảng cách giữa hai đáy. Chiều cao của tam giác hay hình thang ở đáy chỉ dùng để tính diện tích đáy.

Nếu đáy là đa giác bất kỳ thì tính thế nào?

Vẫn dùng các công thức trên: tìm chu vi đáy P và diện tích đáy S, rồi tính S_xq = P·h, S_tp = P·h + 2S, V = S·h. Với đa giác phức tạp, chia đáy thành các tam giác hoặc hình đơn giản để tính diện tích.