Trả lời nhanh
Câu này SAI. Tứ giác chỉ có hai đường chéo vuông góc thì chưa chắc là hình thoi; ví dụ điển hình là hình “cái diều” có bốn cạnh không bằng nhau. Muốn kết luận hình thoi, tứ giác đó phải là hình bình hành (hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường) và có hai đường chéo vuông góc.
Vì sao câu phát biểu này sai?
Hình thoi là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau. Hai đường chéo của nó vuông góc, nhưng đó là tính chất chứ không phải điều kiện đủ để nhận biết. Phát biểu “hình thoi thì có hai đường chéo vuông góc” là đúng, còn mệnh đề đảo của nó thì sai.
Để chứng minh một mệnh đề là sai, ta chỉ cần đưa ra một phản ví dụ: một hình thoả mãn giả thiết nhưng không thoả mãn kết luận.
Phản ví dụ: hình cái diều
Đặt hệ trục toạ độ với O(0; 0), lấy A(0; 4), C(0; −2), B(−3; 0), D(3; 0). Khi đó AC nằm trên trục Oy, BD nằm trên trục Ox nên AC ⊥ BD tại O.
Tính các cạnh: AB = AD = √(3² + 4²) = 5, còn CB = CD = √(3² + 2²) = √13. Vì 5 ≠ √13 nên ABCD không có bốn cạnh bằng nhau, tức không phải hình thoi.
Ở hình trên, O là trung điểm của BD nhưng không phải trung điểm của AC (OA = 4, OC = 2). Đây chính là chỗ “thiếu” so với hình thoi.
Điều kiện đúng để thành hình thoi
Mệnh đề đúng: Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi.
Chứng minh. Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD, nên O là trung điểm của AC và BD. Vì AC ⊥ BD nên BO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của tam giác ABC. Do đó tam giác ABC cân tại B, suy ra BA = BC. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. ∎
Các dấu hiệu nhận biết hình thoi
- Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.
- Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau.
- Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau.
- Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc.
Mẹo nhớ: ba dấu hiệu sau đều bắt đầu bằng “hình bình hành”. Thấy đề chỉ nói “tứ giác” thì phải cẩn thận, vì còn thiếu điều kiện song song hoặc trung điểm.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm giữa tính chất và dấu hiệu nhận biết: thấy hình thoi có đường chéo vuông góc nên cho rằng ngược lại cũng đúng.
- Quên bước chứng minh tứ giác là hình bình hành trước khi dùng dấu hiệu về đường chéo.
- Chỉ vẽ một hình đẹp (thường là hình thoi hoặc hình vuông) rồi kết luận, thay vì thử vẽ hình “xấu” để tìm phản ví dụ.
Thêm một tính chất đáng nhớ
Với tứ giác lồi ABCD bất kì, hai đường chéo vuông góc khi và chỉ khi AB² + CD² = BC² + DA². Kiểm tra với hình cái diều ở trên: AB² + CD² = 25 + 13 = 38 và BC² + DA² = 13 + 25 = 38, đúng như vậy.
Luyện tập: đúng hay sai?
Các câu dưới đây do chúng tôi tự đặt để bạn rèn cách lập luận. Hãy tự làm rồi đối chiếu đáp án.
- Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau và vuông góc là hình vuông.
- Hình thang cân có hai đường chéo vuông góc là hình vuông.
- Tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình thoi.
Đáp án:
- Đúng. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật; có thêm đường chéo vuông góc thì là hình thoi. Vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi nên là hình vuông.
- Sai. Lấy hình thang cân với D(−3; 0), C(3; 0), A(−1; 4), B(1; 4). Vectơ AC = (4; −4), BD = (−4; −4), tích vô hướng bằng −16 + 16 = 0 nên hai đường chéo vuông góc, nhưng hai đáy dài 2 và 6 khác nhau, hình này không phải hình vuông.
- Đúng. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là dấu hiệu của hình bình hành; cộng với đường chéo vuông góc thì thành hình thoi.
Câu hỏi thường gặp
Tứ giác có hai đường chéo vuông góc là hình gì?
Chưa thể kết luận là hình gì cụ thể. Nó có thể là hình thoi, hình vuông, hình cái diều hoặc một tứ giác thường. Cần thêm điều kiện như hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường thì mới kết luận được hình thoi.
Hình nào có hai đường chéo vuông góc?
Hình thoi và hình vuông luôn có hai đường chéo vuông góc. Ngoài ra, hình cái diều và một số hình thang cân đặc biệt cũng có tính chất này.
Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình gì?
Là hình thoi. Vì O là trung điểm AC và BO vuông góc AC nên tam giác ABC cân tại B, suy ra hai cạnh kề bằng nhau.
Làm sao chứng minh một mệnh đề toán học là sai?
Chỉ cần đưa ra một phản ví dụ: một trường hợp thoả mãn giả thiết nhưng không thoả mãn kết luận, như hình cái diều trong bài này.