Giải SGK Toán 8 Bài 9 (Kết nối tri thức): Phân tích đa thức thành nhân tử

Kiến thức cần nhớ trước khi giải

Phân tích đa thức thành nhân tử là viết đa thức đó thành tích của các đa thức (không kể đa thức là số). Ví dụ x² − 2xy = x(x − 2y): vế trái là tổng, vế phải là tích.

Phương pháp	Nhận biết	Cách làm
Đặt nhân tử chung	Mọi hạng tử cùng chứa một thừa số (số, biến hoặc cả cụm)	Kéo thừa số chung ra ngoài ngoặc, phần còn lại viết trong ngoặc
Dùng hằng đẳng thức	Có dạng hiệu hai bình phương, bình phương/lập phương của tổng hoặc hiệu, tổng/hiệu hai lập phương	Đọc hằng đẳng thức theo chiều từ trái sang phải để thành tích
Nhóm hạng tử	Không có nhân tử chung cho cả đa thức, nhưng ghép cặp thì có	Ghép các hạng tử thích hợp, đặt nhân tử chung từng nhóm, rồi đặt tiếp nhân tử chung của cả đa thức

Các hằng đẳng thức hay dùng: A² − B² = (A − B)(A + B); (A ± B)²; (A ± B)³; A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²); A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²).

Muốn đọc kỹ phần lý thuyết, xem thêm bài lý thuyết tại Lý thuyết Phân tích đa thức thành nhân tử.

1. Đặt nhân tử chung – Giải Toán 8 trang 42 Tập 1

HĐ 1 trang 42

Viết x² = x·x, ta thấy cả hai hạng tử đều có thừa số x:

x² − 2xy = x·x − x·2y = x(x − 2y).

Luyện tập 1 trang 42

a) Hai hạng tử 6y³ và 2y có ước chung lớn nhất của hệ số là 2 và biến chung là y (lấy số mũ nhỏ nhất):

6y³ + 2y = 2y(3y² + 1).

b) Ở đây nhân tử chung là cả cụm (x − y):

4(x − y) − 3x(x − y) = (x − y)(4 − 3x).

Mẹo: khi nhân tử chung là một cụm trong ngoặc, hãy coi cụm đó như một “chữ cái” duy nhất.

Vận dụng 1 trang 42

Bài toán mở đầu quy về giải phương trình 2x² + x = 0. Phân tích vế trái rồi dùng tính chất: tích bằng 0 thì có ít nhất một thừa số bằng 0.

• 2x² + x = x(2x + 1) = 0
• x = 0 hoặc 2x + 1 = 0, tức x = 0 hoặc x = −1/2.

Vậy x = 0 hoặc x = −1/2.

Xem lời giải riêng từng câu: HĐ 1, Luyện tập 1, Vận dụng 1; tổng hợp: Giải Toán 8 trang 42.

2. Dùng hằng đẳng thức – Giải Toán 8 trang 43 Tập 1

Luyện tập 2 trang 43

a) (x + 1)² − y² là hiệu hai bình phương với A = x + 1, B = y:

(x + 1)² − y² = (x + 1 + y)(x + 1 − y).

b) x³ + 3x² + 3x + 1 có bốn hạng tử, hệ số 1 – 3 – 3 – 1 đúng dạng khai triển lập phương của tổng:

x³ + 3x² + 3x + 1 = (x + 1)³.

c) 8x³ = (2x)³ và 1 = 1³, dấu xen kẽ (+, −, +, −) nên là lập phương của một hiệu:

8x³ − 12x² + 6x − 1 = (2x)³ − 3·(2x)²·1 + 3·2x·1 − 1³ = (2x − 1)³.

Kiểm tra câu c: số hạng thứ hai 3·(2x)²·1 = 12x², số hạng thứ ba 3·2x·1 = 6x, đều khớp đề.

Mẹo nhận dạng: thấy hai số hạng ở hai đầu là các lập phương, hãy thử xem hai số hạng giữa có bằng 3A²B và 3AB² hay không.

Lời giải riêng: Luyện tập 2 trang 43.

3. Nhóm các hạng tử – Giải Toán 8 trang 44 Tập 1

Luyện tập 3 trang 44

Đa thức 2x² − 4xy + 2y − x: hai hạng tử đầu có nhân tử chung 2x, hai hạng tử sau nếu đặt dấu trừ ra ngoài sẽ ra (x − 2y).

2x² − 4xy + 2y − x = (2x² − 4xy) − (x − 2y) = 2x(x − 2y) − (x − 2y) = (x − 2y)(2x − 1).

Nhân ngược lại: (x − 2y)(2x − 1) = 2x² − x − 4xy + 2y, đúng với đa thức ban đầu.

Vận dụng 2 trang 44

Tính nhanh A = x² + 2y − 2x − xy tại x = 2022, y = 2020. Ta nhóm sao cho mỗi nhóm có nhân tử chung (x − 2):

A = (x² − 2x) − (xy − 2y) = x(x − 2) − y(x − 2) = (x − 2)(x − y).

Thay số: A = (2022 − 2)(2022 − 2020) = 2020·2 = 4040.

Kiểm tra bằng cách tính trực tiếp: x² = 4 088 484; xy = 4 084 440; 2y = 4 040; 2x = 4 044. Vậy A = 4 088 484 + 4 040 − 4 044 − 4 084 440 = 4 040. Kết quả khớp.

Lỗi hay gặp: ghép (x² + 2y) − (2x + xy) rồi viết x² + 2y = x(x + 2). Cách này sai vì x(x + 2) = x² + 2x chứ không phải x² + 2y. Nếu em ra đáp số 4044 thì nên rà lại bước nhóm này.

Tranh luận trang 44

Phân tích x³ − x: đặt x ra ngoài được x(x² − 1), nhưng x² − 1 vẫn còn phân tích tiếp được bằng hiệu hai bình phương:

x³ − x = x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1).

Lời giải nào dừng ở x(x² − 1) là chưa triệt để; lời giải đến x(x − 1)(x + 1) mới là kết quả cuối cùng. Quy tắc: sau mỗi lần phân tích, hãy nhìn lại từng nhân tử xem còn tách được nữa không.

Xem riêng: Luyện tập 3, Vận dụng 2, Tranh luận; tổng hợp: Giải Toán 8 trang 44.

Bài tập cuối bài – trang 44 Tập 1

Bài 2.22

• a) x² + xy = x(x + y)
• b) 6a²b − 18ab = 6ab·a − 6ab·3 = 6ab(a − 3)
• c) x³ − 4x = x(x² − 4) = x(x − 2)(x + 2)
• d) x⁴ − 8x = x(x³ − 8) = x(x − 2)(x² + 2x + 4)

Ở câu d, thừa số x² + 2x + 4 không phân tích tiếp được ở mức lớp 8 nên dừng tại đây. Đừng nhầm nó với (x + 2)² = x² + 4x + 4.

Bài 2.23

a) x² − 9 + xy + 3y = (x² − 9) + (xy + 3y) = (x − 3)(x + 3) + y(x + 3) = (x + 3)(x − 3 + y).

b) x²y + x² + xy − 1 = (x²y + xy) + (x² − 1) = xy(x + 1) + (x − 1)(x + 1) = (x + 1)(xy + x − 1).

Kiểm tra câu b: (x + 1)(xy + x − 1) = x²y + x² − x + xy + x − 1 = x²y + x² + xy − 1. Đúng.

Bài 2.24

a) x² − 4x = 0 ⇔ x(x − 4) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4. Vậy x ∈ {0; 4}.

b) 2x³ − 2x = 0 ⇔ 2x(x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 0, x = 1 hoặc x = −1. Vậy x ∈ {0; 1; −1}.

Lỗi hay gặp: chia cả hai vế cho x để “rút gọn” sẽ làm mất nghiệm x = 0. Hãy luôn phân tích thành tích rồi cho từng nhân tử bằng 0.

Lời giải riêng: Bài 2.22, Bài 2.23, Bài 2.24.

Bài 2.25 – mảnh vườn hình vuông có đường đi xung quanh

Đề cho mảnh vườn hình vuông cạnh x (m), người ta làm đường đi bao quanh bên trong vườn. Em hãy lấy bề rộng đường đi theo đúng số liệu trong sách; ở đây ta giải với bề rộng tổng quát là a (m) rồi thay số.

• Đường đi chiếm a mét ở mỗi phía nên cạnh phần đất còn lại là x − 2a (m).
• Diện tích phần đất còn lại: S = (x − 2a)² (m²).
• Diện tích đường đi: x² − (x − 2a)² = [x − (x − 2a)][x + (x − 2a)] = 2a(2x − 2a) = 4a(x − a) (m²).

Ví dụ tự đặt (không phải số liệu trong sách): với a = 2 và x = 20 thì cạnh phần đất còn lại là 16 m, diện tích 256 m²; diện tích đường đi là 4·2·(20 − 2) = 144 m². Kiểm tra: 400 − 256 = 144. Khớp. Em chỉ cần thay a và x theo đề trong sách. Xem thêm: Bài 2.25.

Quy trình 4 bước để phân tích đa thức

1. Tìm nhân tử chung của tất cả hạng tử (kể cả hệ số); có thì đặt ra ngoài trước.
2. Nhìn phần còn lại có khớp hằng đẳng thức nào không (hai hạng tử → hiệu bình phương, hiệu/tổng lập phương; ba hạng tử → bình phương; bốn hạng tử → lập phương hoặc nhóm).
3. Nếu không khớp, thử nhóm các hạng tử để xuất hiện nhân tử chung mới.
4. Kiểm tra từng nhân tử còn phân tích được không, rồi nhân ngược để thử lại.

Bài luyện tập tự giải (có đáp án)

1. Phân tích thành nhân tử: 9x² − 12x + 4.
2. Phân tích thành nhân tử: x² − 2xy + y² − 16.
3. Tìm x biết x³ − 9x = 0.
4. Tính nhanh 75² − 25².

Đáp án:

1. 9x² − 12x + 4 = (3x)² − 2·3x·2 + 2² = (3x − 2)².
2. Nhóm ba hạng tử đầu: (x − y)² − 4² = (x − y − 4)(x − y + 4).
3. x(x² − 9) = x(x − 3)(x + 3) = 0 nên x ∈ {0; 3; −3}.
4. 75² − 25² = (75 − 25)(75 + 25) = 50·100 = 5000.

Muốn luyện thêm: 20 bài tập phân tích đa thức thành nhân tử, 20 câu trắc nghiệm, Sách bài tập Bài 9 và Vở thực hành Bài 9.

Các bài liền kề trong chương 2

• Luyện tập chung trang 40
• Luyện tập chung trang 45
• Bài tập cuối chương 2
• Giải SGK Toán 8 – Kết nối tri thức (mục lục)

Câu hỏi thường gặp

Toán 8 bài 9 Kết nối tri thức gồm những phương pháp nào?

Gồm ba phương pháp: đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức và nhóm các hạng tử. Trong bài tập thường phải phối hợp cả ba, ví dụ x³ − x cần đặt x ra ngoài rồi dùng hiệu hai bình phương.

Thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử triệt để?

Là phân tích đến khi mỗi nhân tử không còn tách thành tích của các đa thức bậc thấp hơn nữa. Chẳng hạn x(x² − 1) chưa triệt để, phải viết x(x − 1)(x + 1).

Làm sao kiểm tra nhanh kết quả phân tích đa thức?

Nhân các nhân tử lại với nhau và so sánh với đa thức ban đầu. Cũng có thể thay một giá trị bằng số cho biến vào cả hai vế để thử.

Khi giải phương trình dạng tích, vì sao không chia hai vế cho x?

Vì chia cho x sẽ làm mất nghiệm x = 0. Cách đúng là đưa vế trái về tích các nhân tử rồi cho từng nhân tử bằng 0.

Bài học liên quan

• Cho a – b = 4 và ab = 3, tính a³ – b³: đáp án và cách giải
• Giải các phương trình: 3x − 2 = 2x − 3; 3 − 4y + 24 + 6y = y + 27 + 3y
• Viết điều kiện xác định của mỗi phân thức: cách làm, ví dụ lớp 8
• Hình lăng trụ đứng tứ giác có bao nhiêu đỉnh, cạnh, mặt?
• Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình gì?
• Hình lăng trụ đứng tam giác có bao nhiêu cạnh? Đáp án và cách đếm