Bài tập tỉ lệ thức lớp 7: 7 dạng có lời giải chi tiết

A. Kiến thức cần nhớ

Trước khi làm bài, em hãy nắm chắc bốn ý sau. Nếu cần ôn kĩ hơn, xem thêm lý thuyết ở bài Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 7: Tỉ lệ thức.

• Định nghĩa: a/b = c/d (hay a : b = c : d) với b, d ≠ 0. Hai số a, d là ngoại tỉ; hai số b, c là trung tỉ.
• Tính chất cơ bản: a/b = c/d ⇒ a·d = b·c (tích ngoại tỉ bằng tích trung tỉ).
• Hoán vị: từ a·d = b·c (cả bốn số khác 0) suy ra bốn tỉ lệ thức: a/b = c/d; a/c = b/d; d/b = c/a; d/c = b/a.
• Dãy tỉ số bằng nhau: a/b = c/d = (a + c)/(b + d) = (a − c)/(b − d) (với mẫu khác 0). Mở rộng cho ba tỉ số: a/b = c/d = e/f = (a + c + e)/(b + d + f).

Mẹo nhớ: “Nhân chéo thì ra, cộng trên cộng dưới thì giữ nguyên tỉ số”. Khi cộng hoặc trừ, dấu ở tử và mẫu phải cùng kiểu (cộng với cộng, trừ với trừ).

Dạng	Nhận biết	Công cụ chính
1	Cho các số/tỉ số, hỏi có lập được tỉ lệ thức không	Rút gọn tỉ số, tích ngoại = tích trung
2	Có x trong tỉ lệ thức	Nhân chéo
3	Chứng minh một tỉ lệ thức mới	Đặt k hoặc hoán vị
4	Cho x/a = y/b và tổng, hiệu hoặc tích	Dãy tỉ số bằng nhau
5	Bài toán lời văn “tỉ lệ với”	Lập dãy tỉ số
6	Tính giá trị biểu thức khi biết tỉ số	Đặt k, thay vào rồi rút gọn
7	Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức	Đặt k, biến đổi tương đương

B. Các dạng bài tập

Dạng 1: Lập tỉ lệ thức từ các số hoặc tỉ số đã cho

Phương pháp: rút gọn từng tỉ số về phân số tối giản (đổi số thập phân, hỗn số thành phân số). Hai tỉ số bằng nhau thì lập được tỉ lệ thức. Hoặc kiểm tra tích của hai số ngoại tỉ có bằng tích hai số trung tỉ hay không.

Ví dụ 1. Các tỉ số 6 : 9, 10 : 15, 4 : 5, 12 : 18 có tỉ số nào bằng nhau? Hãy lập tỉ lệ thức.

Giải. 6 : 9 = 2/3; 10 : 15 = 2/3; 12 : 18 = 2/3; còn 4 : 5 = 4/5. Vậy ba tỉ số đầu bằng nhau, chẳng hạn lập được 6 : 9 = 10 : 15 và 10 : 15 = 12 : 18. Tỉ số 4 : 5 không bằng các tỉ số còn lại nên không tham gia.

Ví dụ 2. Từ đẳng thức 3·20 = 4·15, viết bốn tỉ lệ thức.

Giải. Ngoại tỉ chọn 3 và 20, trung tỉ 4 và 15 (cả hai vế đều bằng 60). Ta có: 3/4 = 15/20; 3/15 = 4/20; 20/4 = 15/3; 20/15 = 4/3. Kiểm tra nhanh: 20/4 = 5 = 15/3 ✓.

Ví dụ 3. Hai tỉ số 2,1 : 3,5 và 4 : 6 có lập được tỉ lệ thức không?

Giải. 2,1 : 3,5 = 21/35 = 3/5; 4 : 6 = 2/3. Vì 3/5 ≠ 2/3 (do 3·3 = 9 ≠ 5·2 = 10) nên không lập được tỉ lệ thức.

Dạng 2: Tìm x trong tỉ lệ thức

Phương pháp: nhân chéo để đưa về phương trình bậc nhất (hoặc x² = số). Chú ý điều kiện mẫu khác 0.

Ví dụ. Tìm x biết:

1. x/12 = 5/8
2. (x − 1)/4 = 9/(x − 1)
3. 2,5 : x = 0,75 : 1,2
4. (2x − 1)/3 = (x + 4)/5

Giải.

1. x = 12·5/8 = 60/8 = 7,5.
2. (x − 1)² = 4·9 = 36 ⇒ x − 1 = 6 hoặc x − 1 = −6 ⇒ x = 7 hoặc x = −5. Cả hai đều thoả mãn x ≠ 1.
3. x = 2,5·1,2 : 0,75 = 3 : 0,75 = 4.
4. 5(2x − 1) = 3(x + 4) ⇒ 10x − 5 = 3x + 12 ⇒ 7x = 17 ⇒ x = 17/7.

Lỗi hay gặp: ở câu b, nhiều em chỉ lấy x − 1 = 6 mà quên nghiệm âm. Khi gặp bình phương bằng một số dương, luôn có hai khả năng.

Dạng 3: Chứng minh một tỉ lệ thức từ tỉ lệ thức cho trước

Phương pháp: có hai cách. Cách 1: đặt a/b = c/d = k, suy ra a = bk, c = dk rồi thay vào. Cách 2: dùng hoán vị và tính chất dãy tỉ số bằng nhau.

Ví dụ. Cho a/b = c/d (các số khác 0, a ≠ b, c ≠ d). Chứng minh (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d).

Giải. Hoán vị: a/c = b/d. Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau: a/c = b/d = (a + b)/(c + d) = (a − b)/(c − d). Do đó (a + b)/(c + d) = (a − b)/(c − d), hoán vị tiếp ta được (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d). ∎

Mẹo: thấy đề có cả “a + b” lẫn “a − b”, hãy nghĩ ngay đến việc hoán vị rồi áp dụng tính chất cộng/trừ.

Dạng 4: Tìm các số từ dãy tỉ số bằng nhau

Phương pháp:

• Cho tổng hoặc hiệu: dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, hoặc đặt x = ak, y = bk.
• Cho tích: đặt k, thay vào tích, giải k² (nhớ hai giá trị của k).
• Hai dãy có số chung: quy đồng để có dãy chung.

Ví dụ 1. x/3 = y/5 và x + y = 32.

Giải. x/3 = y/5 = (x + y)/(3 + 5) = 32/8 = 4 ⇒ x = 12, y = 20.

Ví dụ 2. x/4 = y/7 và y − x = 21.

Giải. x/4 = y/7 = (y − x)/(7 − 4) = 21/3 = 7 ⇒ x = 28, y = 49.

Ví dụ 3. x/2 = y/3 và x·y = 54.

Giải. Đặt x = 2k, y = 3k thì 6k² = 54 ⇒ k² = 9 ⇒ k = 3 hoặc k = −3. Vậy (x; y) = (6; 9) hoặc (−6; −9).

Ví dụ 4. x/2 = y/3 = z/5 và 2x + 3y − z = 24.

Giải. Đặt x = 2k, y = 3k, z = 5k. Khi đó 4k + 9k − 5k = 8k = 24 ⇒ k = 3 ⇒ x = 6, y = 9, z = 15.

Ví dụ 5. x/2 = y/3, y/4 = z/5 và x + y + z = 70.

Giải. Số chung là y, BCNN(3, 4) = 12. x/2 = y/3 ⇒ x/8 = y/12; y/4 = z/5 ⇒ y/12 = z/15. Vậy x/8 = y/12 = z/15 = (x + y + z)/(8 + 12 + 15) = 70/35 = 2 ⇒ x = 16, y = 24, z = 30.

Em có thể xem thêm phương pháp ở Ứng dụng tỉ lệ thức tìm giá trị các biến x, y.

Dạng 5: Bài toán lời văn

Phương pháp: gọi ẩn, chuyển câu “tỉ lệ với 3, 4, 5” thành x/3 = y/4 = z/5, rồi dùng tổng hoặc hiệu đề cho.

Ví dụ. Ba lớp 7A, 7B, 7C quyên góp sách tỉ lệ với 3, 4, 5. Tổng cả ba lớp là 360 quyển. Tính số sách mỗi lớp.

Giải. Gọi số sách ba lớp là x, y, z. Ta có x/3 = y/4 = z/5 = (x + y + z)/(3 + 4 + 5) = 360/12 = 30. Vậy x = 90, y = 120, z = 150. Kiểm tra: 90 + 120 + 150 = 360 ✓.

Lưu ý: luôn kiểm tra lại tổng và tỉ số, rồi kết luận bằng câu có đơn vị.

Dạng 6: Tính giá trị biểu thức khi biết tỉ số

Phương pháp: đặt các biến theo k, thay vào biểu thức, rút gọn k (k ≠ 0) để ra số.

Ví dụ. Cho x/y = 3/4. Tính A = (2x + y)/(x + 3y).

Giải. Đặt x = 3k, y = 4k (k ≠ 0). A = (6k + 4k)/(3k + 12k) = 10k/15k = 2/3.

Kết quả không phụ thuộc k, đó là dấu hiệu em làm đúng.

Dạng 7: Chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức

Ví dụ 1 (đẳng thức). Cho a/b = c/d (b, d ≠ 0, b² + d² ≠ 0). Chứng minh (a² + c²)/(b² + d²) = ac/(bd) (với b·d ≠ 0).

Giải. Đặt a = bk, c = dk. Vế trái: (b²k² + d²k²)/(b² + d²) = k². Vế phải: bk·dk/(bd) = k². Hai vế bằng nhau. ∎

Ví dụ 2 (bất đẳng thức). Cho b, d > 0 và a/b < c/d. Chứng minh a/b < (a + c)/(b + d) < c/d.

Giải. Từ a/b < c/d với b, d > 0 suy ra ad < bc. Ta có a(b + d) = ab + ad < ab + bc = b(a + c), nên a/b < (a + c)/(b + d). Tương tự, d(a + c) = ad + cd < bc + cd = c(b + d), nên (a + c)/(b + d) < c/d. ∎

Thêm kĩ thuật ở Ứng dụng tỉ lệ thức vào chứng minh đẳng thức và bất đẳng thức.

Những lỗi sai thường gặp

• Nhầm ngoại tỉ với trung tỉ khi nhân chéo, dẫn đến lập sai tỉ lệ thức hoán vị.
• Áp dụng (a + c)/(b + d) khi b + d = 0, hoặc (a − c)/(b − d) khi b = d.
• Với x/a = y/b mà đề cho x − y, quên trừ cả mẫu (phải là a − b).
• Bỏ sót nghiệm âm khi giải k² hoặc (x − m)².
• Đổi số thập phân, hỗn số sai trước khi rút gọn tỉ số.

Bài tập luyện tập (có đáp án)

1. Tìm x biết 1,6 : x = x : 2,5.
2. Tìm x, y biết x/5 = y/7 và x − y = −8.
3. Chu vi một tam giác là 36 cm, ba cạnh tỉ lệ với 3, 4, 5. Tính độ dài ba cạnh.
4. Cho a/b = c/d. Chứng minh (2a + 3b)/(2a − 3b) = (2c + 3d)/(2c − 3d) (các mẫu khác 0).

Đáp án.

1. x² = 1,6·2,5 = 4 ⇒ x = 2 hoặc x = −2.
2. x/5 = y/7 = (x − y)/(5 − 7) = (−8)/(−2) = 4 ⇒ x = 20, y = 28.
3. Gọi ba cạnh a, b, c: a/3 = b/4 = c/5 = 36/12 = 3 ⇒ a = 9 cm, b = 12 cm, c = 15 cm.
4. Đặt a = bk, c = dk. Vế trái = (2bk + 3b)/(2bk − 3b) = (2k + 3)/(2k − 3) (rút gọn b ≠ 0). Vế phải = (2dk + 3d)/(2dk − 3d) = (2k + 3)/(2k − 3). Hai vế bằng nhau. ∎

Ôn tập thêm

• Lý thuyết Toán 7: Tỉ lệ thức, tính chất dãy số bằng nhau
• Trắc nghiệm Tỉ lệ thức có đáp án Toán lớp 7
• Số hữu tỉ Đại số lớp 7
• Luỹ thừa số hữu tỉ Đại số lớp 7
• Giá trị tuyệt đối của số hữu tỉ

Câu hỏi thường gặp

Tỉ lệ thức là gì?

Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a/b = c/d (b, d khác 0). Trong đó a, d là ngoại tỉ, b, c là trung tỉ và luôn có a·d = b·c.

Khi nào được dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau?

Khi có các tỉ số bằng nhau và đề cho tổng hoặc hiệu của các tử (hoặc của các mẫu). Cần đảm bảo tổng hoặc hiệu các mẫu tương ứng khác 0, và cộng hay trừ cùng kiểu ở tử và mẫu.

Làm sao tìm x, y khi đề cho tích x·y?

Đặt x = ak, y = bk từ tỉ lệ thức x/a = y/b, thay vào tích để được phương trình k² = số. Giải k (thường có hai giá trị, dương và âm) rồi suy ra x, y.

Làm thế nào kiểm tra hai tỉ số có lập được tỉ lệ thức?

Rút gọn mỗi tỉ số về phân số tối giản rồi so sánh, hoặc kiểm tra tích ngoại tỉ có bằng tích trung tỉ không. Nếu bằng nhau thì lập được.

Bài học liên quan

• SBT Toán 7 Bài 18 (Kết nối tri thức): Biểu đồ hình quạt tròn
• Giải SGK Toán 7 Bài 2 Chân trời sáng tạo: Biểu đồ hình quạt tròn
• Lý thuyết Hai tam giác bằng nhau. Trường hợp bằng nhau c.c.c – Toán 7 KNTT
• Giải SGK Toán 7 Bài 6 (Cánh diều): Dãy tỉ số bằng nhau
• Cách chứng minh hai đường thẳng song song lớp 7 kèm bài tập có đáp án
• Giải Toán 7 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 5 (bài 5.18 – 5.21)