Trả lời nhanh
Với hình thang ABCD (AB // CD), đường thẳng a song song với DC cắt AD tại E và BC tại F, ta luôn có AE/ED = BF/FC. Cách chứng minh: gọi K là giao điểm của EF với AC, áp dụng định lí Thalès cho tam giác ADC và tam giác ABC để cùng thu được tỉ số AK/KC, từ đó suy ra hai tỉ số bằng nhau.
Đây là bài toán điển hình của chương Định lí Thalès (Toán 8). Đề thường yêu cầu chứng minh tỉ lệ thức AE/ED = BF/FC. Ngoài ra đề còn có thể hỏi các tỉ số tương đương hoặc tính độ dài EF. Ta làm lần lượt từng ý.
Đề bài và hình vẽ
Đề: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Đường thẳng a song song với DC, cắt các cạnh AD và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng AE/ED = BF/FC.
Vì a // DC và AB // DC nên ba đường thẳng AB, EF, DC đôi một song song. Đây là chìa khoá của bài.
Chứng minh chi tiết
Bước 1: Vẽ thêm điểm phụ. Gọi K là giao điểm của đường chéo AC với đường thẳng EF. Vì EF cắt cạnh AD tại điểm E nằm giữa A và D, nên K nằm giữa A và C.
Bước 2: Xét tam giác ADC. Có E thuộc AD, K thuộc AC và EK // DC. Theo định lí Thalès:
AE/ED = AK/KC (1)
Bước 3: Xét tam giác ABC. Có F thuộc BC, K thuộc AC và KF // AB (vì EF // DC, AB // DC). Theo định lí Thalès:
CF/FB = CK/KA, suy ra BF/FC = AK/KC (2)
Bước 4: Kết luận. Từ (1) và (2) ta có AE/ED = BF/FC (đpcm).
Vì sao phải kẻ đường chéo AC?
Định lí Thalès cơ bản chỉ dùng cho tam giác. Hình thang có hai cạnh bên AD, BC không cắt nhau trong hình, nên ta cần “tạo” tam giác. Đường chéo AC chia hình thang thành hai tam giác ADC và ABC, và nó là cạnh chung để nối hai tỉ số (1), (2) qua tỉ số trung gian AK/KC.
Các hệ quả hay dùng
- AE/AD = BF/BC (cộng 1 vào hai vế rồi biến đổi tỉ lệ thức, hoặc dùng Thalès trực tiếp).
- ED/AD = FC/BC.
- Nếu AE:ED = m:n thì EF = (n·AB + m·CD)/(m + n).
Hệ quả cuối nên chứng minh nhanh: từ AE/AD = m/(m+n), ta có EK = (m/(m+n))·… Cách ngắn gọn là EK = CD·AE/AD (tam giác ADC), KF = AB·CK/AC = AB·ED/AD (tam giác CAB). Cộng lại: EF = (m·CD + n·AB)/(m+n).
Ví dụ vận dụng (số liệu tự đặt)
Ví dụ 1. Cho AE = 3 cm, ED = 2 cm, BC = 10 cm. Tính BF và FC.
Theo chứng minh trên, BF/FC = AE/ED = 3/2. Mà BF + FC = 10 nên FC = 10 : (3 + 2) × 2 = 4 cm, BF = 6 cm. Kiểm tra: 6/4 = 3/2 ✓.
Ví dụ 2. Cho AB = 4 cm, CD = 10 cm, AE:ED = 1:2. Tính EF.
Áp dụng công thức với m = 1, n = 2: EF = (2·4 + 1·10)/3 = 6 cm. Kiểm tra bằng cách khác: E cách A một phần ba cạnh AD, nên EF = AB + (CD − AB)/3 = 4 + 2 = 6 cm ✓.
Lỗi sai thường gặp
- Viết nhầm vị trí đoạn thẳng: viết AE/ED = FC/BF. Hãy nhớ quy tắc “cùng đi từ phía AB xuống phía DC”: AE ứng với BF, ED ứng với FC.
- Quên nêu lí do song song: phải ghi rõ KF // AB vì cùng song song với DC. Thiếu bước này bài bị trừ điểm.
- Dùng Thalès khi chưa có tam giác: phải nói rõ “xét tam giác ADC” hoặc “xét tam giác ABC” trước khi áp dụng.
- Nhầm AE/ED với AE/AD: hai tỉ số này khác nhau (một là phần với phần, một là phần với toàn bộ).
Bài luyện tập
- Cho hình thang ABCD (AB // CD), EF // CD với E thuộc AD, F thuộc BC. Biết AD = 12 cm, AE = 4 cm, BF = 5 cm. Tính BC.
Đáp án: AE/AD = BF/BC nên 4/12 = 5/BC, suy ra BC = 15 cm. - Cho AB = 6 cm, CD = 12 cm, E là trung điểm AD, EF // DC (F thuộc BC). Tính EF.
Đáp án: m = n = 1, EF = (6 + 12)/2 = 9 cm (EF là đường trung bình). - Cho AE:ED = 2:3, AB = 5 cm, CD = 15 cm. Tính EF.
Đáp án: m = 2, n = 3, EF = (3·5 + 2·15)/5 = 9 cm.
Mẹo nhớ
Gặp hình thang có đường thẳng song song với đáy cắt hai cạnh bên, hãy nghĩ ngay “các đoạn thẳng bị chắn trên hai cạnh bên tỉ lệ với nhau”. Chỉ cần kẻ thêm một đường chéo là đưa được về tam giác quen thuộc.
Câu hỏi thường gặp
Chứng minh AE/ED = BF/FC cần dùng định lí nào?
Dùng định lí Thalès trong tam giác (đường thẳng song song với một cạnh cắt hai cạnh còn lại), áp dụng hai lần cho tam giác ADC và tam giác ABC.
Nếu E là trung điểm AD thì F có là trung điểm BC không?
Có. Khi AE/ED = 1 thì BF/FC = 1 nên BF = FC, và EF chính là đường trung bình của hình thang.
Có cách chứng minh khác không cần kẻ đường chéo AC không?
Có thể dùng định lí Thalès cho ba đường thẳng song song AB, EF, CD cắt hai cát tuyến AD và BC, kết luận cho ngay các tỉ số đoạn thẳng tương ứng bằng nhau.
Làm sao tính độ dài EF khi biết hai đáy và tỉ số AE:ED?
Nếu AE:ED = m:n thì EF = (n·AB + m·CD)/(m + n). Công thức suy ra từ việc tính EK và KF qua hai tam giác ADC, CAB.