Trả lời nhanh
Ba đường trung trực của một tam giác luôn cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác (nếu gọi là O thì OA = OB = OC) và là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh. Muốn tìm giao điểm 3 đường trung trực, em chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì rồi lấy giao điểm của chúng.
1. Ôn lại: đường trung trực của đoạn thẳng
Đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng vuông góc với AB tại trung điểm của AB. Muốn là trung trực, đường thẳng phải thoả mãn cả hai điều kiện: đi qua trung điểm và vuông góc.
Có một tính chất em sẽ dùng liên tục trong bài này:
- Điểm nằm trên đường trung trực của đoạn AB thì cách đều hai đầu mút: MA = MB.
- Ngược lại, điểm cách đều hai đầu mút A, B thì nằm trên đường trung trực của AB.
2. Đường trung trực của tam giác
Trong tam giác ABC, đường trung trực của mỗi cạnh (AB, BC, CA) được gọi là đường trung trực của tam giác. Vì tam giác có ba cạnh nên có đúng ba đường trung trực.
Chú ý: khác với trung tuyến hay đường cao, đường trung trực của tam giác không nhất thiết đi qua đỉnh nào. Nó chỉ gắn với một cạnh: vuông góc và đi qua trung điểm cạnh đó.
Ví dụ nhận biết: đường thẳng d cắt cạnh BC tại điểm I.
- Nếu IB = IC và d ⊥ BC thì d là đường trung trực của tam giác.
- Nếu IB = IC nhưng d không vuông góc với BC (d chỉ là đường xiên qua trung điểm) thì d không là trung trực.
- Nếu d ⊥ BC nhưng IB ≠ IC thì d cũng không là trung trực.
3. Tính chất ba đường trung trực của tam giác
Định lí. Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm này cách đều ba đỉnh của tam giác.
Vì sao ba đường lại đồng quy? (chứng minh)
Gọi O là giao điểm của hai đường trung trực của AB và BC. Hai đường này không song song vì AB và BC cắt nhau, nên giao điểm O luôn tồn tại.
- O nằm trên trung trực của AB nên OA = OB.
- O nằm trên trung trực của BC nên OB = OC.
- Suy ra OA = OC, tức O cách đều hai đầu mút của AC. Theo tính chất ở mục 1, O nằm trên trung trực của AC.
Vậy cả ba đường trung trực cùng đi qua O và OA = OB = OC. Điểm O gọi là giao điểm ba đường trung trực. Vì có một điểm cách đều ba đỉnh, ta vẽ được một đường tròn tâm O đi qua A, B, C. Đó là đường tròn ngoại tiếp tam giác, em sẽ học kĩ hơn ở lớp 9.
Hai hệ quả cần nhớ
- Để xác định O, chỉ cần dựng hai đường trung trực rồi lấy giao điểm. Đường thứ ba để kiểm tra lại.
- O cách đều ba đỉnh. Đừng nhầm với giao điểm ba đường phân giác, điểm cách đều ba cạnh.
4. Vị trí của giao điểm tuỳ theo dạng tam giác
| Dạng tam giác | Vị trí của O |
|---|---|
| Ba góc đều nhọn | Nằm bên trong tam giác |
| Vuông | Là trung điểm của cạnh huyền |
| Có một góc tù | Nằm bên ngoài tam giác, phía cạnh đối diện với góc tù |
| Cân tại A | Nằm trên đường trung trực của đáy BC, cũng là đường đi qua A (vừa là trung tuyến, phân giác, đường cao xuất phát từ A) |
| Đều | Trùng với trọng tâm, trực tâm và giao điểm các đường phân giác |
Mẹo nhớ: góc nhọn thì “trong”, góc vuông thì “trên cạnh”, góc tù thì “ra ngoài”.
5. Cách dựng giao điểm ba đường trung trực
- Dùng thước chia khoảng hoặc compa xác định trung điểm của hai cạnh bất kì, chẳng hạn AB và AC.
- Qua mỗi trung điểm, dựng đường thẳng vuông góc với cạnh tương ứng bằng ê ke.
- Giao điểm của hai đường thẳng này là O. Đo thử OA, OB, OC để kiểm tra, ba độ dài phải bằng nhau (sai số nhỏ do vẽ).
Ứng dụng thực tế: cần đặt giếng nước, trạm phát sóng hay cột đèn cách đều ba thôn A, B, C không thẳng hàng thì vị trí đó chính là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.
6. Bốn điểm đặc biệt trong tam giác – đừng nhầm lẫn
| Ba đường đồng quy | Điểm đồng quy | Đặc điểm nổi bật |
|---|---|---|
| Trung tuyến | Trọng tâm | Cách mỗi đỉnh bằng 2/3 độ dài trung tuyến tương ứng |
| Phân giác | Cách đều ba cạnh | Nằm trong tam giác |
| Trung trực | Cách đều ba đỉnh | Có thể nằm trong, trên cạnh hoặc ngoài tam giác |
| Đường cao | Trực tâm | Có thể nằm trong, trùng đỉnh hoặc ngoài tam giác |
Các bài còn lại của chương: xem
Lý thuyết Bài 10: Ba đường trung tuyến, Bài 11: Ba đường phân giác, Bài 13: Ba đường cao và Ôn tập Chương 7.
7. Ví dụ minh hoạ có lời giải
Ví dụ 1 – Tam giác vuông
Đề: Tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. O là giao điểm ba đường trung trực. Tính OA.
Giải: Theo định lí Pythagore, BC2 = 62 + 82 = 100, nên BC = 10 cm. Tam giác vuông có giao điểm ba trung trực là trung điểm cạnh huyền, nên O là trung điểm BC.
Có thể kiểm tra: trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền, nên khoảng cách từ trung điểm BC đến A, B, C đều bằng 5 cm. Điểm cách đều ba đỉnh chính là O. Vậy OA = 10 : 2 = 5 cm.
Ví dụ 2 – Tính góc nhờ các tam giác cân
Đề: Tam giác ABC có ba góc nhọn và ∠BAC = 70°. O là giao điểm ba đường trung trực, nằm trong tam giác. Tính ∠BOC và ∠OBC.
Giải: Vì OA = OB = OC nên các tam giác OAB, OAC, OBC đều cân tại O. Đặt ∠OAB = x, ∠OAC = y thì x + y = ∠BAC = 70°.
- Tam giác OAB cân tại O: ∠OBA = x, nên ∠AOB = 180° − 2x.
- Tam giác OAC cân tại O: ∠OCA = y, nên ∠AOC = 180° − 2y.
- Vì O nằm trong tam giác nên ∠BOC = 360° − ∠AOB − ∠AOC = 360° − (360° − 2x − 2y) = 2(x + y) = 140°.
Tam giác OBC cân tại O nên ∠OBC = (180° − 140°) : 2 = 20°. Vậy ∠BOC = 140° và ∠OBC = 20°.
Nhận xét: khi O nằm trong tam giác nhọn, ∠BOC luôn gấp đôi ∠BAC.
Ví dụ 3 – Tam giác cân, dùng Pythagore
Đề: Tam giác ABC cân tại A có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm. Tính khoảng cách từ giao điểm ba trung trực O đến đỉnh A.
Giải: Gọi H là trung điểm BC. Tam giác cân nên AH vừa là trung tuyến vừa là đường cao, đồng thời là trung trực của BC, và O nằm trên AH. Ta có HB = 5 cm, nên AH2 = 132 − 52 = 144, suy ra AH = 12 cm.
Đặt OA = OB = R. Tam giác nhọn nên O nằm giữa A và H, OH = 12 − R. Tam giác OHB vuông tại H:
R2 = (12 − R)2 + 52 ⇒ 0 = 144 − 24R + 25 ⇒ R = 169/24 ≈ 7,04 cm.
Vậy OA = 169/24 cm (khoảng 7,04 cm). Kiểm tra: 169/24 < 12 nên O đúng là nằm trong tam giác.
8. Lỗi sai thường gặp
- Nhầm trung trực với trung tuyến: trung tuyến nối đỉnh với trung điểm cạnh đối diện, còn trung trực phải vuông góc với cạnh.
- Cho rằng O luôn nằm trong tam giác: tam giác vuông thì O ở trên cạnh huyền, tam giác tù thì O ở ngoài.
- Vẽ đường trung trực không vuông góc hoặc không qua đúng trung điểm, dẫn đến giao điểm lệch.
- Nhầm “cách đều ba đỉnh” với “cách đều ba cạnh”: điểm cách đều ba đỉnh là giao các trung trực, điểm cách đều ba cạnh là giao các phân giác.
- Quên lập luận OA = OB = OC khi cần chứng minh tam giác cân, nên bài giải thiếu căn cứ.
9. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Tam giác ABC vuông tại A, BC = 26 cm. Tính khoảng cách từ giao điểm ba đường trung trực đến đỉnh A.
Đáp án: O là trung điểm cạnh huyền BC nên OA = OB = OC = 26 : 2 = 13 cm.
Bài 2. Cho tam giác ABC có O là giao điểm ba đường trung trực nằm trên cạnh BC. Chứng minh ∠BAC = 90°.
Đáp án: OA = OB = OC nên tam giác OAB cân tại O, suy ra ∠OAB = ∠B. Tam giác OAC cân tại O, suy ra ∠OAC = ∠C. Vì O nằm trên BC nên ∠BAC = ∠OAB + ∠OAC = ∠B + ∠C. Trong tam giác ABC, ∠A + ∠B + ∠C = 180°, nên 2∠A = 180°, tức ∠BAC = 90°.
Bài 3. Tam giác ABC cân tại A có ∠A = 40°. O là giao điểm ba đường trung trực. Tính ∠OBC.
Đáp án: Hai góc ở đáy mỗi góc (180° − 40°) : 2 = 70°, nên tam giác có ba góc nhọn, O nằm trong tam giác. Như Ví dụ 2, ∠BOC = 2∠A = 80°. Tam giác OBC cân tại O nên ∠OBC = (180° − 80°) : 2 = 50°. Kiểm tra: ∠OBA = ∠OAB = 20°, mà 20° + 50° = 70° = ∠ABC, khớp.
10. Học tiếp
Sau khi nắm lý thuyết, em nên làm bài tập theo thứ tự sau: giải SGK Toán 7 Bài 12, rồi sách bài tập, vở bài tập và cuối cùng là 20 câu trắc nghiệm có đáp án. Muốn xem toàn bộ phần kiến thức lớp 7, mời em vào Lý thuyết Toán 7 Cánh Diều.
Cùng chuyên đề: Mục lục khác cùng môn, lớp: Giải SGK Toán 7 Kết nối tri thức Tập 1, Tập 2 đầy đủ, chi tiết; Giải SGK Toán 7 Chân trời sáng tạo Tập 1, Tập 2: mục lục đầy đủ 9 chương; Lý thuyết Tiên đề Euclid, tính chất hai đường thẳng song song – Toán 7 KNTT.
Câu hỏi thường gặp
Giao điểm 3 đường trung trực của tam giác gọi là gì?
Đó là điểm O cách đều ba đỉnh của tam giác (OA = OB = OC). Điểm này là tâm của đường tròn đi qua ba đỉnh, gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác, được học kĩ ở lớp 9.
Giao điểm ba đường trung trực nằm ở đâu trong tam giác?
Tam giác nhọn: O nằm bên trong. Tam giác vuông: O là trung điểm cạnh huyền. Tam giác tù: O nằm bên ngoài tam giác, phía cạnh đối diện với góc tù.
Muốn xác định giao điểm ba đường trung trực cần vẽ mấy đường?
Chỉ cần vẽ hai đường trung trực của hai cạnh bất kì. Vì ba đường trung trực luôn đồng quy nên giao điểm của hai đường đó cũng nằm trên đường thứ ba.
Đường trung trực của tam giác có đi qua đỉnh không?
Không nhất thiết. Đường trung trực của một cạnh chỉ cần vuông góc với cạnh đó tại trung điểm. Nó đi qua đỉnh đối diện khi tam giác cân tại đỉnh đó, hoặc là tam giác đều.