Trả lời nhanh
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không có điểm chung. Muốn nhận biết, ta kẻ một đường thẳng cắt cả hai rồi xét các cặp góc tạo thành: nếu có một cặp góc so le trong bằng nhau, hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau, thì hai đường thẳng đó song song. Hai góc trong cùng phía bù nhau cũng cho kết luận tương tự.
1. Hai đường thẳng song song là gì?
Trong mặt phẳng, hai đường thẳng chỉ có ba khả năng: cắt nhau (có đúng một điểm chung), trùng nhau (vô số điểm chung) hoặc song song (không có điểm chung nào).
- Hai đường thẳng a và b song song được kí hiệu là a // b.
- Hai đường thẳng phân biệt chỉ cần “không cắt nhau” là đã song song, dù ta kéo dài chúng ra thế nào.
- Hai đoạn thẳng (hay tia) được gọi là song song khi chúng nằm trên hai đường thẳng song song.
Lưu ý: hình vẽ trên giấy chỉ là một đoạn nhỏ của đường thẳng, nên không thể “nhìn” để kết luận song song. Ta cần một dấu hiệu bằng số đo góc.
2. Nhắc lại các cặp góc tạo bởi một cát tuyến
Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b lần lượt tại A và B. Tại mỗi giao điểm có 4 góc, tổng cộng 8 góc. Ta quan tâm ba loại cặp góc sau:
| Loại cặp góc | Vị trí | Cách nhớ |
|---|---|---|
| So le trong | Nằm giữa a và b, hai bên khác nhau của c | “Trong” dải giữa hai đường, “so le” như hai chân bước chéo nhau |
| Đồng vị | Cùng phía của c, một góc ở trong dải, một góc ở ngoài dải, cùng vị trí so với a và b | Giống nhau về vị trí: cùng trên-phải, cùng dưới-trái… |
| Trong cùng phía | Nằm giữa a và b, cùng một bên của c | Cùng ở trong, cùng một phía |
Trong hình trên, hai góc tô màu cam (một góc tại A, một góc tại B) là một cặp góc so le trong. Nếu chúng bằng nhau thì a // b.
3. Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song
Dấu hiệu chính. Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b và trong các góc tạo thành có một cặp góc so le trong bằng nhau (hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau) thì a và b song song với nhau.
Tóm tắt bằng kí hiệu:
- Góc so le trong bằng nhau ⇒ a // b.
- Góc đồng vị bằng nhau ⇒ a // b.
Các hệ quả hay dùng:
- Hai góc trong cùng phía bù nhau (tổng bằng 180°) ⇒ a // b. Lý do: góc trong cùng phía bù nhau thì góc so le trong tương ứng bằng nhau (vì cùng bù với một góc).
- Hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau: nếu a ⊥ c và b ⊥ c thì a // b. Lý do: cặp góc đồng vị cùng bằng 90°.
Điều thú vị là chỉ cần một cặp góc thỏa mãn là đủ. Khi đã song song rồi, các cặp còn lại sẽ tự thỏa mãn (phần tính chất này học kĩ ở bài sau, gắn với tiên đề Euclid).
4. Cách vẽ hai đường thẳng song song
Bài toán: qua điểm M nằm ngoài đường thẳng a, vẽ đường thẳng b song song với a.
- Đặt cạnh góc vuông thứ nhất của ê ke trùng với đường thẳng a.
- Đặt thước thẳng áp sát cạnh góc vuông thứ hai của ê ke.
- Giữ chặt thước, trượt ê ke dọc theo thước cho đến khi cạnh góc vuông thứ nhất đi qua M.
- Kẻ đường thẳng b theo cạnh đó của ê ke. Khi đó b // a.
Cách làm này thực chất dựa vào dấu hiệu “hai đường thẳng cùng tạo với thước một góc bằng nhau”, tức cặp góc đồng vị bằng nhau. Ngoài ra có thể dùng thước đo góc: dựng qua M đường thẳng tạo với một cát tuyến cho trước góc đồng vị bằng nhau.
5. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 – Dùng cặp góc đồng vị
Đường thẳng c cắt a tại A và cắt b tại B. Biết góc tạo bởi a và c ở vị trí trên-phải tại A bằng 65° và góc tạo bởi b và c ở vị trí trên-phải tại B cũng bằng 65°. Hỏi a và b có song song không?
Giải. Hai góc này nằm cùng vị trí (cùng trên-phải) nên là cặp góc đồng vị, và chúng bằng nhau (cùng 65°). Theo dấu hiệu nhận biết, a // b.
Ví dụ 2 – Dùng cặp góc trong cùng phía
Đường thẳng c cắt a, b. Hai góc trong cùng phía có số đo 110° và 70°. Chứng tỏ a // b.
Giải. Tổng hai góc là 110° + 70° = 180°, nên chúng bù nhau. Góc 70° kề bù với góc 110° tại cùng giao điểm, mà góc kề bù đó chính là góc so le trong với góc còn lại, nên hai góc so le trong đều bằng 70°. Vậy a // b.
Ví dụ 3 – Tìm x để hai đường thẳng song song
Cát tuyến c cắt a, b. Một cặp góc so le trong có số đo (3x + 10)° và 100°. Tìm x để a // b.
Giải. Để a // b cần hai góc so le trong bằng nhau: 3x + 10 = 100 ⇒ 3x = 90 ⇒ x = 30. Kiểm tra: 3·30 + 10 = 100. Đúng.
Ví dụ 4 – Hai đường cùng vuông góc với đường thứ ba
Cho tứ giác ABCD có AB ⊥ AD và CD ⊥ AD. Chứng tỏ AB // CD.
Giải. AB và CD cùng vuông góc với đường thẳng AD. Theo hệ quả, AB // CD.
6. Lỗi sai thường gặp
- Nhầm tên cặp góc. Học sinh hay gọi góc đồng vị là so le trong. Hãy xác định trước: hai góc có cùng nằm trong dải giữa a, b không? Có cùng phía của c không?
- Chỉ nhìn hình, không có số liệu. Hai đường trông “có vẻ” song song nhưng đề chưa cho góc bằng nhau thì chưa được kết luận.
- Dùng ngược chiều. Dấu hiệu nhận biết đi từ góc bằng nhau ⇒ song song. Việc song song ⇒ góc bằng nhau là tính chất (học ở bài tiếp theo), đừng dùng lẫn khi chứng minh.
- Quên điều kiện bù nhau. Với góc trong cùng phía, điều kiện là tổng bằng 180°, không phải bằng nhau.
- Hai đường trùng nhau. Khi nói song song, hai đường phải phân biệt.
7. Mẹo nhớ nhanh
- “So le trong bằng nhau, đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau” là ba cách chứng minh song song.
- Tìm chữ Z (so le trong) hoặc chữ F (đồng vị) trong hình; hình chữ U tương ứng cặp trong cùng phía.
- Khi bài cho hai đường cùng vuông góc với một đường: nghĩ ngay tới song song.
8. Bài luyện tập có đáp án
- Đường thẳng c cắt a, b. Một cặp góc so le trong có số đo (2x + 25)° và 75°. Tìm x để a // b.
- Đường thẳng c cắt a, b. Hai góc trong cùng phía có số đo (4x + 10)° và 110°. Tìm x để a // b.
- Cho a ⊥ c, b ⊥ c, và đường thẳng d ⊥ c tại một điểm khác. Chứng tỏ ba đường a, b, d đôi một song song.
Đáp án.
- 2x + 25 = 75 ⇒ 2x = 50 ⇒ x = 25.
- Hai góc trong cùng phía bù nhau: 4x + 10 + 110 = 180 ⇒ 4x = 60 ⇒ x = 15.
- a, b, d cùng vuông góc với c. Từng cặp (a, b), (b, d), (a, d) cùng vuông góc với c nên đôi một song song.
9. Tổng kết
Ghi nhớ ba ý: định nghĩa (không có điểm chung), dấu hiệu (so le trong hoặc đồng vị bằng nhau, trong cùng phía bù nhau) và hệ quả (cùng vuông góc với đường thứ ba). Làm bài, hãy luôn gọi tên đúng cặp góc trước khi kết luận.
Câu hỏi thường gặp
Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song là gì?
Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng khác, nếu có một cặp góc so le trong bằng nhau hoặc một cặp góc đồng vị bằng nhau thì hai đường thẳng đó song song. Hai góc trong cùng phía bù nhau cũng dẫn đến kết luận song song.
Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì sao?
Chúng song song với nhau, vì cặp góc đồng vị tạo thành cùng bằng 90°.
Góc so le trong và góc đồng vị khác nhau thế nào?
Góc so le trong nằm trong dải giữa hai đường thẳng và ở hai phía khác nhau của cát tuyến. Góc đồng vị nằm cùng phía của cát tuyến và cùng vị trí so với hai đường thẳng, một góc trong dải, một góc ngoài dải.
Hai đường thẳng song song có thể có điểm chung không?
Không. Hai đường thẳng song song không có điểm chung nào; nếu có từ hai điểm chung trở lên thì chúng trùng nhau.