Trả lời nhanh
Để chứng minh định lí này, ta vẽ hình, viết giả thiết (a ⊥ c, b ⊥ c, a ≠ b) và kết luận (a // b). Sau đó lập luận: đường thẳng c cắt a và b tạo ra một cặp góc đồng vị cùng bằng 90°, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song, a // b.
Định lí cần chứng minh
Định lí được phát biểu: “Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.” Đây là một mệnh đề dạng “nếu … thì …”, nên phần sau chữ “nếu” là giả thiết, phần sau chữ “thì” là kết luận. Định lí này nằm trong mạch kiến thức về hai đường thẳng song song và chứng minh định lí của Toán 7.
Bước 1: Vẽ hình và ghi giả thiết, kết luận
Vẽ đường thẳng c. Vẽ hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với c, lần lượt cắt c tại A và B.
| Giả thiết (GT) | Kết luận (KL) |
|---|---|
| a ≠ b; a ⊥ c tại A; b ⊥ c tại B | a // b |
Lưu ý: ghi rõ “phân biệt” trong giả thiết, vì hai đường thẳng trùng nhau thì không gọi là song song.
Bước 2: Chứng minh – Cách 1 (dùng góc đồng vị)
- Đường thẳng c cắt a tại A và cắt b tại B.
- Vì a ⊥ c nên góc tạo bởi a và c tại A bằng 90°. Vì b ⊥ c nên góc tạo bởi b và c tại B bằng 90°.
- Chọn hai góc đồng vị: góc trên bên phải tại A (kí hiệu ∠A1) và góc trên bên phải tại B (kí hiệu ∠B1). Ta có ∠A1 = ∠B1 = 90°.
- Hai đường thẳng a và b bị cắt bởi c có một cặp góc đồng vị bằng nhau, nên a // b (dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song). ∎
Cách 2 (phản chứng)
Giả sử a và b không song song. Vì a ≠ b nên chúng cắt nhau tại một điểm M, và M không nằm trên c (nếu M thuộc c thì M trùng A và B, khi đó a, b cùng đi qua A và cùng vuông góc với c, nên a trùng b, trái giả thiết).
Khi đó qua điểm M nằm ngoài c có hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với c. Điều này mâu thuẫn với tính chất: trong một mặt phẳng, qua một điểm có một và chỉ một đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước. Vậy giả sử sai, suy ra a // b. ∎
Vì sao cách 1 là cách “chuẩn” khi làm bài?
- Cách 1 chỉ dùng đúng dấu hiệu nhận biết đã học, lập luận ngắn, dễ trình bày.
- Cách 2 hay ở chỗ rèn tư duy phản chứng, nhưng cần nhớ chính xác tính chất về đường vuông góc duy nhất.
- Có thể thay cặp góc đồng vị bằng cặp góc so le trong (cũng cùng bằng 90°) hoặc hai góc trong cùng phía bù nhau (90° + 90° = 180°); kết quả như nhau.
Lỗi sai thường gặp
- Quên điều kiện “phân biệt” hoặc không nói rõ a, b cắt c ở hai điểm khác nhau.
- Viết “vì a // b nên …” ngay từ đầu (dùng kết luận để chứng minh chính nó).
- Áp dụng định lí trong không gian: ở lớp không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Định lí này chỉ đúng trong cùng một mặt phẳng.
- Không nêu tên dấu hiệu (góc đồng vị bằng nhau) khi kết luận song song.
Mẹo nhớ: “Cùng vuông với một đường, thì sánh vai song song” – ba đường trong cùng mặt phẳng, hai đường “đứng thẳng” cạnh nhau trên một “đường nền” thì không bao giờ gặp nhau.
Bài luyện tập
Bài 1. Viết định lí sau dưới dạng GT – KL: “Nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì nó vuông góc với đường thẳng kia.”
Đáp án: GT: a // b, c ⊥ a. KL: c ⊥ b.
Bài 2. Chứng minh định lí ở Bài 1.
Gợi ý đáp án: c cắt a tại A (vuông góc) nên c cắt b tại B (một đường cắt một trong hai đường song song thì cắt đường kia). Vì a // b nên hai góc đồng vị bằng nhau: góc tại B = góc tại A = 90°. Vậy c ⊥ b.
Bài 3. Cho ba đường thẳng m, n, p trong cùng một mặt phẳng, biết m ⊥ p và n ⊥ p. Hỏi m và n có thể cắt nhau không? Vì sao?
Đáp án: Nếu m, n phân biệt thì không cắt nhau vì m // n theo định lí trên. Nếu m trùng n thì chúng có vô số điểm chung; vì vậy điều kiện “phân biệt” rất quan trọng.
Câu hỏi thường gặp
Giả thiết và kết luận của định lí hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thứ ba là gì?
Giả thiết: hai đường thẳng phân biệt a, b cùng vuông góc với đường thẳng c. Kết luận: a song song với b.
Tại sao hai đường thẳng cùng vuông góc với đường thứ ba lại song song?
Vì đường thẳng thứ ba cắt chúng tạo ra cặp góc đồng vị (hoặc so le trong) cùng bằng 90°, thỏa dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song.
Định lí này có đúng trong không gian không?
Không. Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba có thể song song, cắt nhau hoặc chéo nhau. Định lí chỉ đúng trong cùng một mặt phẳng.
Vì sao phải có điều kiện hai đường thẳng phân biệt?
Nếu hai đường thẳng trùng nhau thì chúng không được coi là song song, nên định lí chỉ phát biểu cho hai đường thẳng khác nhau.