Trả lời nhanh
Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, em chỉ cần chỉ ra một trong ba điều kiện: ba cặp cạnh tương ứng tỉ lệ (c-c-c); hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và góc xen giữa bằng nhau (c-g-c); hai cặp góc tương ứng bằng nhau (g-g). Với tam giác vuông, chỉ cần một góc nhọn bằng nhau hoặc cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ.
1. Ba trường hợp đồng dạng của tam giác
Hai tam giác đồng dạng khi các góc tương ứng bằng nhau và các cạnh tương ứng tỉ lệ. Nhờ ba trường hợp dưới đây, ta không phải kiểm tra tất cả sáu yếu tố mà chỉ cần ba hoặc hai yếu tố.
| Trường hợp | Điều kiện cần chứng minh | Kết luận |
|---|---|---|
| Cạnh – cạnh – cạnh (c-c-c) | A’B’/AB = B’C’/BC = C’A’/CA | ΔA’B’C’ ∽ ΔABC |
| Cạnh – góc – cạnh (c-g-c) | A’B’/AB = A’C’/AC và ∠A’ = ∠A | ΔA’B’C’ ∽ ΔABC |
| Góc – góc (g-g) | ∠A’ = ∠A và ∠B’ = ∠B | ΔA’B’C’ ∽ ΔABC |
Lưu ý ở c-g-c: góc phải là góc xen giữa hai cạnh đang xét. Đây là chỗ học sinh hay nhầm nhất.
Hai trường hợp riêng của tam giác vuông
- Hai tam giác vuông có một cặp góc nhọn bằng nhau thì đồng dạng (thực chất là g-g, vì góc vuông đã bằng nhau).
- Hai tam giác vuông có tỉ số cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác này bằng tỉ số cạnh huyền và một cạnh góc vuông tương ứng của tam giác kia thì đồng dạng.
2. Quy trình 4 bước khi làm bài chứng minh
- Xác định cặp tam giác cần chứng minh và viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng (đỉnh nào ứng với đỉnh nào).
- Liệt kê dữ kiện: góc chung, góc đối đỉnh, góc so le trong, đồng vị, góc vuông, cạnh song song, tỉ lệ thức có sẵn.
- Chọn trường hợp: thấy nhiều góc bằng nhau → g-g; cho độ dài cạnh → c-c-c hoặc c-g-c.
- Viết kết luận theo đúng thứ tự đỉnh, rồi suy ra tỉ lệ thức hoặc góc bằng nhau cần dùng cho câu sau.
Mẹo nhớ: có số đo cạnh thì nghĩ đến cạnh, có song song hoặc vuông góc thì nghĩ đến góc.
3. Dạng 1: Chứng minh theo trường hợp c-c-c
Cách làm: sắp xếp ba cạnh của mỗi tam giác theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, lập ba tỉ số các cạnh cùng vị trí rồi so sánh.
Ví dụ 1. Cho ΔABC có AB = 4 cm, BC = 6 cm, CA = 8 cm và ΔDEF có DE = 6 cm, EF = 9 cm, FD = 12 cm. Chứng minh hai tam giác đồng dạng.
Giải. Ta có AB/DE = 4/6 = 2/3; BC/EF = 6/9 = 2/3; CA/FD = 8/12 = 2/3. Vậy AB/DE = BC/EF = CA/FD nên ΔABC ∽ ΔDEF (c-c-c) với tỉ số đồng dạng k = 2/3.
Lỗi thường gặp: lập tỉ số các cạnh không tương ứng (ví dụ lấy cạnh nhỏ nhất của tam giác này chia cạnh lớn nhất của tam giác kia).
4. Dạng 2: Chứng minh theo trường hợp c-g-c
Cách làm: tìm một góc bằng nhau (thường là góc chung hoặc góc đối đỉnh), rồi kiểm tra hai cạnh kề góc đó có tỉ lệ không.
Ví dụ 2. Cho ΔABC có AB = 6 cm, AC = 9 cm. Lấy D trên cạnh AB sao cho AD = 4 cm, lấy E trên cạnh AC sao cho AE = 6 cm. Chứng minh ΔADE ∽ ΔABC và suy ra DE // BC.
Giải. Xét ΔADE và ΔABC: AD/AB = 4/6 = 2/3; AE/AC = 6/9 = 2/3, nên AD/AB = AE/AC. Lại có ∠A chung. Do đó ΔADE ∽ ΔABC (c-g-c).
Suy ra ∠ADE = ∠ABC. Hai góc này ở vị trí đồng vị nên DE // BC. Ngoài ra DE/BC = 2/3.
Em có thể ôn thêm nền tảng ở bài định lí Ta-lét để thấy kết quả này chính là định lí Ta-lét đảo nhìn từ góc độ đồng dạng: xem Định lí Ta-lét đảo và hệ quả.
5. Dạng 3: Chứng minh theo trường hợp g-g
Đây là trường hợp dùng nhiều nhất vì chỉ cần hai góc. Các nguồn góc bằng nhau quen thuộc: góc chung, góc đối đỉnh, so le trong và đồng vị khi có đường thẳng song song, cùng phụ hoặc cùng bù với một góc thứ ba, góc vuông.
Ví dụ 3 (tam giác vuông có đường cao). Cho ΔABC vuông tại A, AB = 6 cm, AC = 8 cm, đường cao AH. Chứng minh ΔHBA ∽ ΔABC và tính BH, AH.
Giải. Xét ΔHBA và ΔABC: ∠BHA = ∠BAC = 90° và ∠B chung. Vậy ΔHBA ∽ ΔABC (g-g).
Suy ra BH/BA = BA/BC, tức là AB² = BH · BC. Theo Pythagoras, BC = √(6² + 8²) = 10 cm. Do đó BH = 6²/10 = 3,6 cm.
Tương tự ΔHAC ∽ ΔABC nên AC² = CH · BC, suy ra CH = 64/10 = 6,4 cm. Kiểm tra: BH + CH = 3,6 + 6,4 = 10 = BC. Từ AH · BC = AB · AC (hai tam giác đồng dạng cho AH/AB = AC/BC) ta có AH = 6 · 8/10 = 4,8 cm.
Ba tam giác ΔHBA, ΔHAC, ΔABC đôi một đồng dạng, nên còn có AH² = BH · CH (kiểm tra: 3,6 · 6,4 = 23,04 = 4,8²).
6. Dạng 4: Hai đường cao trong tam giác và chứng minh đẳng thức tích
Đề thường cho: “Tam giác ABC nhọn, hai đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Chứng minh …”. Hãy làm theo chuỗi sau.
Ví dụ 4. Chứng minh (a) ΔABD ∽ ΔACE; (b) AD · AC = AE · AB; (c) ΔADE ∽ ΔABC.
Giải.
- (a) Xét ΔABD và ΔACE: ∠ADB = ∠AEC = 90°, ∠A chung ⇒ ΔABD ∽ ΔACE (g-g).
- (b) Từ (a): AB/AC = AD/AE ⇒ AD · AC = AE · AB.
- (c) Cũng từ AB/AC = AD/AE, đổi chỗ trung tỉ ta được AD/AB = AE/AC. Cùng với ∠A chung, ΔADE ∽ ΔABC (c-g-c).
Mẹo: đẳng thức dạng “tích bằng tích” (a · b = c · d) gần như luôn bắt nguồn từ một tỉ lệ thức của hai tam giác đồng dạng. Hãy chuyển về a/c = d/b rồi tìm hai tam giác chứa các đoạn đó.
7. Dạng 5: Dùng tam giác đồng dạng để tính độ dài, chu vi, diện tích
Nếu ΔA’B’C’ ∽ ΔABC theo tỉ số k thì:
- tỉ số hai đường cao, hai trung tuyến, hai đường phân giác tương ứng cũng bằng k;
- tỉ số chu vi bằng k;
- tỉ số diện tích bằng k².
Ví dụ 5. ΔABC ∽ ΔA’B’C’ với tỉ số AB/A’B’ = 2/3. Chu vi ΔABC là 20 cm, diện tích 24 cm². Tính chu vi và diện tích ΔA’B’C’.
Giải. Chu vi: 20/P’ = 2/3 ⇒ P’ = 30 cm. Diện tích: 24/S’ = (2/3)² = 4/9 ⇒ S’ = 24 · 9/4 = 54 cm².
Lỗi hay gặp: dùng nhầm tỉ số k cho diện tích. Hãy nhớ “chiều dài nhân k thì diện tích nhân k²”.
8. Bảng chọn nhanh trường hợp đồng dạng
| Dữ kiện đề cho | Nên nghĩ đến |
|---|---|
| Có đường thẳng song song với một cạnh | g-g (góc đồng vị, so le trong, góc chung) |
| Có hai đường cao, hai góc vuông | g-g, sau đó c-g-c cho cặp tam giác lớn |
| Cho đủ số đo 3 cạnh mỗi tam giác | c-c-c |
| Cho 2 cạnh và 1 góc xen giữa | c-g-c |
| Hai đường thẳng cắt nhau tạo góc đối đỉnh | g-g hoặc c-g-c |
9. Những lỗi sai cần tránh
- Viết sai thứ tự đỉnh khi kết luận: ΔABC ∽ ΔDEF khác ΔABC ∽ ΔDFE, vì thứ tự đỉnh quyết định cặp cạnh tương ứng.
- Dùng c-g-c nhưng góc không xen giữa hai cạnh đã lập tỉ số.
- Chỉ chứng minh một cặp góc rồi kết luận đồng dạng; g-g cần hai cặp góc.
- Nhầm đồng dạng với bằng nhau: tỉ số k khác 1 vẫn đồng dạng nhưng không bằng nhau.
- Suy ra tỉ lệ thức mà không viết rõ “vì ΔXYZ ∽ ΔMNP” nên mất điểm trình bày.
10. Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. ΔABC có AB = 5 cm, AC = 10 cm, ∠A = 50°. ΔDEF có DE = 3 cm, DF = 6 cm, ∠D = 50°. Hai tam giác có đồng dạng không? Tỉ số đồng dạng là bao nhiêu?
Đáp án. AB/DE = 5/3; AC/DF = 10/6 = 5/3; ∠A = ∠D nên ΔABC ∽ ΔDEF (c-g-c) với k = 5/3.
Bài 2. Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh ΔOAB ∽ ΔOCD. Cho AB = 4 cm, CD = 10 cm, OA = 3 cm, tính OC.
Đáp án. ∠OAB = ∠OCD (so le trong), ∠OBA = ∠ODC (so le trong) nên ΔOAB ∽ ΔOCD (g-g). Suy ra OA/OC = AB/CD ⇒ 3/OC = 4/10 ⇒ OC = 7,5 cm.
Bài 3. ΔABC vuông tại A, AB = 9 cm, AC = 12 cm, đường cao AH. Tính BH, CH, AH.
Đáp án. BC = 15 cm. BH = AB²/BC = 81/15 = 5,4 cm; CH = AC²/BC = 144/15 = 9,6 cm (5,4 + 9,6 = 15). AH = AB · AC/BC = 108/15 = 7,2 cm.
11. Học tiếp những phần liên quan
- Lý thuyết khái niệm hai tam giác đồng dạng
- Tính chất đường phân giác của tam giác
- Ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng
- Ôn tập chương III Tam giác đồng dạng
- 21 câu trắc nghiệm Toán 8 chương 3 có đáp án
Câu hỏi thường gặp
Có mấy cách chứng minh hai tam giác đồng dạng?
Có ba trường hợp chính: cạnh - cạnh - cạnh, cạnh - góc - cạnh và góc - góc. Với tam giác vuông còn có hai dấu hiệu riêng: một góc nhọn bằng nhau, hoặc cạnh huyền và một cạnh góc vuông tỉ lệ.
Khi nào nên dùng trường hợp góc - góc?
Khi đề bài có đường thẳng song song, góc vuông, góc chung hoặc góc đối đỉnh. Những dữ kiện này cho góc bằng nhau nhanh hơn việc tính độ dài cạnh.
Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bao nhiêu?
Bằng bình phương tỉ số đồng dạng. Nếu tỉ số đồng dạng là k thì tỉ số diện tích là k², còn tỉ số chu vi vẫn là k.
Vì sao phải viết đúng thứ tự đỉnh khi kết luận hai tam giác đồng dạng?
Thứ tự đỉnh cho biết đỉnh nào ứng với đỉnh nào, từ đó xác định các cặp góc bằng nhau và các cặp cạnh tương ứng để lập tỉ lệ thức. Viết sai thứ tự sẽ dẫn đến tỉ lệ thức sai ở các câu sau.