Đạo hàm 5 mũ x: (5^x)' = 5^x ln5 và cách chứng minh

Trả lời nhanh

Đạo hàm của hàm số y = 5^x là y’ = 5^x · ln5. Đây là trường hợp riêng của công thức (a^x)’ = a^x · ln a với a = 5. Hãy chọn đáp án có nhân với ln5, không chọn đáp án chia cho ln5 hay có dạng x·5^x−1.

Công thức đạo hàm hàm số mũ

Với hàm số mũ y = a^x (a > 0, a ≠ 1), ta có:

(a^x)’ = a^x · ln a
(e^x)’ = e^x (vì ln e = 1)
Nếu hàm hợp: (a^u)’ = u’ · a^u · ln a

Thay a = 5 ta được (5^x)’ = 5^x · ln5. Vì ln5 ≈ 1,609 nên đạo hàm của 5^x luôn dương, hàm số y = 5^x đồng biến trên ℝ.

Chứng minh (5^x)’ = 5^x · ln5

Cách 1: đưa về cơ số e.

Viết 5 = e^ln5, nên 5^x = e^x·ln5.
Đặt u = x·ln5, ta có u’ = ln5 (vì ln5 là hằng số).
Áp dụng (e^u)’ = u’·e^u: (5^x)’ = ln5 · e^x·ln5 = 5^x · ln5.

Cách 2: lấy logarit hai vế. Đặt y = 5^x thì ln y = x·ln5. Đạo hàm hai vế theo x: y’/y = ln5, suy ra y’ = y·ln5 = 5^x·ln5.

Vì sao các đáp án khác sai?

Biểu thức hay gặp	Vì sao sai
y’ = x · 5^x−1	Đây là quy tắc đạo hàm hàm luỹ thừa (xⁿ)’. Ở 5^x biến x nằm ở số mũ, không áp dụng được.
y’ = 5^x / ln5	Đây là nguyên hàm: ∫5^xdx = 5^x/ln5 + C. Học sinh hay nhầm giữa đạo hàm và nguyên hàm.
y’ = 5^x	Chỉ đúng với cơ số e. Với cơ số 5 phải nhân thêm ln5.
y’ = 5^x · log₅e	Nhầm ln5 với log₅e (hai số này nghịch đảo nhau).

Mẹo nhớ: đạo hàm hàm mũ “giữ nguyên hàm, nhân ln cơ số”. Nguyên hàm thì ngược lại, “giữ nguyên hàm, chia ln cơ số”.

Ví dụ áp dụng

Ví dụ 1. y = 5^2x+1. Ở đây u = 2x + 1, u’ = 2, nên y’ = 2 · 5^2x+1 · ln5.

Ví dụ 2. y = x · 5^x. Dùng quy tắc tích: y’ = 5^x + x · 5^x · ln5 = 5^x(1 + x·ln5).

Ví dụ 3. Tính y'(0) với y = 5^x: y'(0) = 5⁰ · ln5 = ln5 ≈ 1,609. Đây cũng là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại điểm (0; 1).

Bài luyện tập

Tính đạo hàm của y = 5^−x.
Tính đạo hàm của y = 5^x².
Tính đạo hàm của y = 5^x + 3^x.

Đáp án:

u = −x, u’ = −1 nên y’ = −5^−x · ln5.
u = x², u’ = 2x nên y’ = 2x · 5^x² · ln5.
y’ = 5^x · ln5 + 3^x · ln3.

Lỗi sai thường gặp

Quên nhân u’ khi số mũ không phải x (ví dụ 5^2x phải có thêm thừa số 2).
Viết ln5 thành log5 hoặc thành 5·ln. Hãy kiểm tra ln5 là một hằng số, không phải biểu thức chứa x.
Nhầm đạo hàm hàm mũ 5^x với đạo hàm hàm luỹ thừa x⁵ = 5x⁴.

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm của 5 mũ x bằng bao nhiêu?

(5^x)' = 5^x · ln5. Đây là công thức (a^x)' = a^x · ln a với a = 5.

Đạo hàm của 5^x có bằng 5^x/ln5 không?

Không. 5^x/ln5 là một nguyên hàm của 5^x. Đạo hàm của 5^x là 5^x nhân với ln5.

Đạo hàm của 5^(2x) là gì?

Đặt u = 2x, u' = 2, nên (5^(2x))' = 2 · 5^(2x) · ln5.

Vì sao hàm số y = 5^x đồng biến trên R?

Vì y' = 5^x · ln5 với 5^x > 0 và ln5 > 0 nên y' > 0 với mọi x thuộc R.