Trả lời nhanh
Phương trình log3(2x − 1) = 2 có nghiệm duy nhất x = 5. Điều kiện xác định là 2x − 1 > 0. Theo định nghĩa logarit, log3A = 2 tương đương A = 32 = 9, nên 2x − 1 = 9, suy ra x = 5. Giá trị này thỏa điều kiện nên nhận.
Lời giải chi tiết từng bước
Bước 1 – Tìm điều kiện xác định. Biểu thức dưới dấu logarit phải dương: 2x − 1 > 0, tức là x > 1/2.
Bước 2 – Đưa về phương trình đại số. Với cơ số a > 0, a ≠ 1, ta có logaA = b ⇔ A = ab. Áp dụng với a = 3, b = 2:
2x − 1 = 32 = 9
Bước 3 – Giải phương trình bậc nhất. 2x = 10, vậy x = 5.
Bước 4 – Đối chiếu điều kiện và thử lại. x = 5 > 1/2 nên nhận. Thử lại: 2·5 − 1 = 9 và log39 = 2 (vì 32 = 9). Đúng.
Kết luận: tập nghiệm S = {5}.
Vì sao phải đặt điều kiện?
Hàm logarit chỉ xác định với số dương. Với phương trình dạng logaf(x) = b (b là số thực bất kì), lũy thừa ab luôn dương, nên khi giải f(x) = ab thì điều kiện f(x) > 0 tự động được thỏa. Vì thế bài này, dù không ghi điều kiện, nghiệm tìm được vẫn đúng. Tuy vậy, khi đi thi, em vẫn nên ghi điều kiện để bài làm trọn vẹn. Với các phương trình có nhiều logarit thì bước này bắt buộc.
Lỗi sai thường gặp
| Cách làm sai | Hậu quả |
|---|---|
| Viết 2x − 1 = 3·2 = 6 (lấy cơ số nhân với kết quả) | Ra x = 7/2, sai. Phải là lũy thừa 32. |
| Viết 2x − 1 = 23 = 8 (nhầm cơ số và giá trị logarit) | Ra x = 9/2, sai. Cơ số là 3, giá trị là 2. |
| Bỏ dấu “−1”: 2x = 9 | Ra x = 9/2, sai. |
Mẹo nhớ: “Cơ số mũ lên bằng số bên phải dấu bằng thì bằng biểu thức trong ngoặc” – tức a(vế phải) = (biểu thức trong log).
Cách giải tổng quát cho dạng logaf(x) = b
- Đặt điều kiện f(x) > 0 (và 0 < a ≠ 1).
- Chuyển thành f(x) = ab.
- Giải phương trình f(x) = ab.
- Đối chiếu điều kiện, kết luận nghiệm.
Ví dụ tự đặt: giải log2(x + 3) = 4. Ta có x + 3 = 24 = 16, nên x = 13. Thử lại: 13 + 3 = 16, log216 = 4. Đúng.
Bài tập luyện tập
- Giải log5(3x + 1) = 2.
Đáp án: 3x + 1 = 25 ⇒ x = 8. - Giải log3(2x − 1) = 3.
Đáp án: 2x − 1 = 27 ⇒ x = 14. - Giải log1/2(2x − 1) = −2.
Đáp án: 2x − 1 = (1/2)−2 = 4 ⇒ x = 5/2. Thử lại: 2·5/2 − 1 = 4 > 0, đúng.
Ghi nhớ
- logaA = b ⇔ A = ab (0 < a ≠ 1, A > 0).
- Luôn kiểm tra điều kiện và thử lại nghiệm bằng cách thay vào đề.
- Đáp số của bài này: x = 5.
Câu hỏi thường gặp
Nghiệm của phương trình log3(2x-1)=2 là bao nhiêu?
Nghiệm duy nhất là x = 5, vì 2x − 1 = 3² = 9 nên x = 5.
Điều kiện xác định của phương trình log3(2x-1)=2 là gì?
Cần 2x − 1 > 0, tức x > 1/2. Nghiệm x = 5 thỏa điều kiện này.
Tại sao 2x − 1 lại bằng 9 mà không phải 6?
Theo định nghĩa, log₃A = 2 nghĩa là 3 mũ 2 bằng A, tức A = 9. Không phải lấy 3 nhân 2.
Có cần thử lại nghiệm khi giải phương trình logarit không?
Nên thử lại hoặc đối chiếu điều kiện. Với dạng log_a f(x) = b thì nghiệm của f(x) = a^b luôn thỏa điều kiện, nhưng với phương trình nhiều logarit thì bắt buộc kiểm tra.