Nguyên hàm của hàm số f(x) là hàm số F(x) thỏa mãn F'(x) = f(x), ký hiệu ∫f(x)dx = F(x) + C với C là hằng số tùy ý. Công thức nguyên hàm cơ bản nhất là ∫xndx = xn+1/(n + 1) + C (n ≠ −1), bên cạnh ∫(1/x)dx = ln|x| + C, ∫exdx = ex + C, ∫cos x dx = sin x + C và ∫sin x dx = −cos x + C. Bài viết tổng hợp bảng nguyên hàm cơ bản, bảng nguyên hàm mở rộng, các phương pháp tìm nguyên hàm, ví dụ có lời giải và bài tập tự luyện.
Nguyên hàm là gì?
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng K. Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của f(x) trên K nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Nói cách khác, tìm nguyên hàm là phép toán ngược của tính đạo hàm.
Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì mọi hàm F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x), vì đạo hàm của hằng số bằng 0. Ví dụ, x2, x2 + 5 và x2 − 3 đều là nguyên hàm của 2x. Họ tất cả các nguyên hàm được viết là ∫2x dx = x2 + C.
Tính chất của nguyên hàm
- ∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx, với k là hằng số khác 0.
- ∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx.
- (∫f(x)dx)’ = f(x).
Bảng nguyên hàm cơ bản
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm ∫f(x)dx |
|---|---|
| 0 | C |
| 1 | x + C |
| xn (n ≠ −1) | xn+1/(n + 1) + C |
| 1/x | ln|x| + C |
| 1/x2 | −1/x + C |
| √x | (2/3)x√x + C |
| 1/√x | 2√x + C |
| ex | ex + C |
| ax (0 < a ≠ 1) | ax/ln a + C |
| cos x | sin x + C |
| sin x | −cos x + C |
| 1/cos2x | tan x + C |
| 1/sin2x | −cot x + C |
Bảng nguyên hàm mở rộng dạng (ax + b)
Khi biến x được thay bằng biểu thức bậc nhất ax + b (a ≠ 0), kết quả giống bảng cơ bản nhưng nhân thêm 1/a:
| Hàm số f(x) | Nguyên hàm ∫f(x)dx |
|---|---|
| (ax + b)n (n ≠ −1) | (ax + b)n+1/[a(n + 1)] + C |
| 1/(ax + b) | (1/a)·ln|ax + b| + C |
| eax+b | (1/a)·eax+b + C |
| cos(ax + b) | (1/a)·sin(ax + b) + C |
| sin(ax + b) | −(1/a)·cos(ax + b) + C |
| 1/cos2(ax + b) | (1/a)·tan(ax + b) + C |
| 1/sin2(ax + b) | −(1/a)·cot(ax + b) + C |
Ba phương pháp thường dùng
1. Dùng bảng và tính chất
Tách hàm số thành tổng các hàm có sẵn trong bảng nguyên hàm, rồi lấy nguyên hàm từng phần. Đây là cách dùng nhiều nhất.
2. Phương pháp đổi biến
Nếu hàm dưới dấu tích phân có dạng f(u(x))·u'(x), đặt t = u(x) thì dt = u'(x)dx và ∫f(u(x))u'(x)dx = ∫f(t)dt.
3. Phương pháp nguyên hàm từng phần
Công thức: ∫u dv = u·v − ∫v du. Thứ tự ưu tiên chọn u thường dùng: “nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ” (logarit, đa thức, lượng giác, mũ).
Ví dụ có lời giải chi tiết
Ví dụ 1: Dùng bảng nguyên hàm
∫(3x2 − 4x + 5)dx = 3·x3/3 − 4·x2/2 + 5x + C = x3 − 2x2 + 5x + C.
Ví dụ 2: Kết hợp mũ và logarit
∫(2ex − 3/x)dx = 2ex − 3ln|x| + C.
Ví dụ 3: Dạng (ax + b)
- ∫sin 2x dx = −½cos 2x + C.
- ∫(2x + 1)3dx = (2x + 1)4/(2·4) + C = (2x + 1)4/8 + C.
Ví dụ 4: Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện
Tìm F(x) là nguyên hàm của f(x) = 2x + cos x biết F(0) = 2.
Bước 1: F(x) = x2 + sin x + C. Bước 2: F(0) = 0 + 0 + C = 2 nên C = 2. Kết luận: F(x) = x2 + sin x + 2.
Ví dụ 5: Đổi biến
Tính ∫2x(x2 + 1)4dx. Đặt t = x2 + 1 thì dt = 2x dx. Khi đó ∫t4dt = t5/5 + C = (x2 + 1)5/5 + C.
Ví dụ 6: Từng phần
Tính ∫x·exdx. Đặt u = x, dv = exdx thì du = dx, v = ex. Suy ra ∫x·exdx = x·ex − ∫exdx = x·ex − ex + C = (x − 1)ex + C.
Kiểm tra bằng đạo hàm: [(x − 1)ex]’ = ex + (x − 1)ex = x·ex, đúng.
Mẹo ghi nhớ nhanh
- Đọc ngược bảng đạo hàm: mỗi dòng của bảng nguyên hàm là một dòng của bảng đạo hàm viết theo chiều ngược lại.
- Lũy thừa: “tăng mũ, chia mũ mới”. xn thành xn+1 rồi chia cho n + 1.
- Dấu của sin và cos ngược với đạo hàm: đạo hàm của cos có dấu trừ, còn nguyên hàm của sin có dấu trừ.
- Luôn kiểm tra lại bằng đạo hàm: lấy đạo hàm kết quả, nếu ra đúng hàm ban đầu thì bạn đã làm đúng.
Lỗi thường gặp
- Quên cộng hằng số C.
- Áp dụng công thức lũy thừa cho n = −1, dẫn tới chia cho 0; trường hợp này phải dùng ∫(1/x)dx = ln|x| + C.
- Viết ln x thay cho ln|x|, làm mất điều kiện khi x < 0.
- Quên nhân 1/a ở dạng (ax + b), ví dụ viết ∫cos 3x dx = sin 3x + C.
- Cho rằng nguyên hàm của tích bằng tích các nguyên hàm.
Bài tập nguyên hàm có đáp án
Bài 1. Tìm ∫(4x3 + 2x)dx.
Xem đáp án
x4 + x2 + C.
Bài 2. Tìm ∫(1/x2 + √x)dx.
Xem đáp án
−1/x + (2/3)x√x + C.
Bài 3. Tìm ∫e3xdx.
Xem đáp án
e3x/3 + C.
Bài 4. Tìm ∫cos(5x − 1)dx.
Xem đáp án
(1/5)sin(5x − 1) + C.
Bài 5. Tìm ∫1/(2x + 3) dx.
Xem đáp án
½ln|2x + 3| + C.
Bài 6. Tìm ∫x·cos x dx.
Xem đáp án
Đặt u = x, dv = cos x dx thì du = dx, v = sin x. Kết quả: x·sin x − ∫sin x dx = x·sin x + cos x + C.
Bài 7. Tìm F(x) là nguyên hàm của f(x) = 3x2 − 1 biết F(1) = 4.
Xem đáp án
F(x) = x3 − x + C; F(1) = 0 + C = 4 nên F(x) = x3 − x + 4.
Bài 8. Tìm ∫tan2x dx.
Xem đáp án
Vì tan2x = 1/cos2x − 1 nên ∫tan2x dx = tan x − x + C.
Câu hỏi thường gặp
Nguyên hàm được học ở lớp mấy?
Nguyên hàm được học ở lớp 12, trong chương Nguyên hàm và tích phân, ngay sau phần ứng dụng đạo hàm.
Vì sao nguyên hàm phải cộng thêm C?
Vì đạo hàm của mọi hằng số bằng 0, nên nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C cũng là nguyên hàm của f(x). Hằng số C đại diện cho cả họ nguyên hàm.
Nguyên hàm của 1/x là gì?
Nguyên hàm của 1/x là ln|x| + C, với x khác 0. Đây là trường hợp đặc biệt mà công thức lũy thừa không áp dụng được.
Nguyên hàm và tích phân khác nhau thế nào?
Nguyên hàm là một họ hàm số F(x) + C, còn tích phân xác định từ a đến b là một con số, tính bằng F(b) − F(a). Muốn tính tích phân thường phải tìm nguyên hàm trước.
Làm sao kiểm tra kết quả nguyên hàm đúng hay sai?
Lấy đạo hàm của kết quả vừa tìm được. Nếu đạo hàm đó bằng đúng hàm số ban đầu thì kết quả nguyên hàm là chính xác.