Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên khoảng K: phương pháp và bài tập

Nhắc lại điều kiện đơn điệu trên một khoảng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên khoảng K. Khi đó:

• f đồng biến trên K ⇔ f'(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K, dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.
• f nghịch biến trên K ⇔ f'(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K, dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm.

Điểm khác với bài “đơn điệu trên tập xác định” là ở đây ta chỉ cần xét dấu y’ trên đúng khoảng K đề cho, không phải trên cả ℝ. Vì vậy điều kiện của m thường “rộng” hơn. Nếu bạn cần dạng toán trên toàn tập xác định, xem thêm
Tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên tập xác định.

Ba hướng giải bài toán chứa tham số m

Dạng hàm	Hướng giải ưu tiên	Điều cần nhớ
Bậc ba, hàm chứa m ở dạng tuyến tính trong y’	Cô lập m	Lập bảng biến thiên của g(x) trên K
Bậc ba mà y’ phân tích được hoặc có nghiệm đẹp	Xét nghiệm của y’, so sánh với đầu mút K	Nghiệm lớn/nhỏ phải nằm ngoài K đúng phía
y = (ax + b)/(cx + d)	Dùng y’ = (ad − bc)/(cx + d)²	Thêm điều kiện −d/c ∉ K

Cách 1: Cô lập tham số m

Các bước làm:

1. Tính y’. Đặt điều kiện y’ ≥ 0 (hoặc y’ ≤ 0) với mọi x ∈ K.
2. Biến đổi về dạng m ≥ g(x) hoặc m ≤ g(x) với mọi x ∈ K. Chú ý chỉ chia hai vế cho biểu thức có dấu xác định trên K.
3. Khảo sát g(x) trên K, tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
4. Kết luận theo quy tắc dưới đây.

• m ≥ g(x) ∀x ∈ K ⇔ m ≥ max g(x) trên K.
• m ≤ g(x) ∀x ∈ K ⇔ m ≤ min g(x) trên K.

Nếu K là khoảng mở và g không đạt max/min trên K thì dùng cận trên đúng (hoặc cận dưới đúng) của g. Khi đó phải kiểm tra riêng giá trị m tại cận xem có thoả mãn không. Đây là chỗ học sinh hay mất điểm.

Ví dụ 1. Hàm bậc ba đồng biến trên nửa khoảng vô hạn

Tìm m để hàm số y = x³ − 3x² + mx + 1 đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Giải. y’ = 3x² − 6x + m. Yêu cầu: 3x² − 6x + m ≥ 0 với mọi x > 1, tức là m ≥ −3x² + 6x = g(x) với mọi x > 1.

Ta có g'(x) = −6x + 6 < 0 khi x > 1, nên g nghịch biến trên (1; +∞), g(x) < g(1) = 3 và g tiến dần tới 3 khi x tiến về 1 từ bên phải. Vậy g không đạt max nhưng cận trên đúng là 3. Điều kiện m ≥ g(x) với mọi x > 1 tương đương m ≥ 3.

Kiểm tra m = 3: y’ = 3(x − 1)² ≥ 0, bằng 0 chỉ tại x = 1, thoả mãn. Kết luận: m ≥ 3.

Ví dụ 2. Hàm bậc ba nghịch biến trên một khoảng hữu hạn

Tìm m để hàm số y = x³ − 3x² + mx nghịch biến trên khoảng (0; 2).

Giải. y’ = 3x² − 6x + m ≤ 0 với mọi x ∈ (0; 2) ⇔ m ≤ −3x² + 6x = g(x) với mọi x ∈ (0; 2).

g là parabol có đỉnh (1; 3), quay bề lõm xuống. Trên (0; 2), g(x) nhận giá trị trong (0; 3], và g(x) tiến dần tới 0 khi x tiến về 0 hoặc 2. Cận dưới đúng của g là 0 (không đạt được). Do đó m ≤ 0.

Kiểm tra m = 0: y’ = 3x(x − 2) ≤ 0 trên [0; 2], thoả mãn. Kết luận: m ≤ 0.

Mẹo nhớ: hình vẽ giúp “nhìn” điều kiện: đường thẳng nằm ngang y = m phải nằm dưới (hoặc chạm) toàn bộ phần đồ thị g trên K thì mới có m ≤ g(x) với mọi x ∈ K.

Cách 2: Xét tam thức bậc hai và so sánh nghiệm

Với hàm bậc ba, y’ là tam thức bậc hai. Nếu y’ phân tích được thành nhân tử thì không cần cô lập m, chỉ cần so sánh các nghiệm với đầu mút của K.

Ví dụ 3. Phân tích y’ thành nhân tử

Tìm m để hàm số y = x³ − 3mx² + 3(2m − 1)x + 1 đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Giải. y’ = 3x² − 6mx + 3(2m − 1) = 3(x² − 2mx + 2m − 1) = 3(x − 1)(x − 2m + 1). Hai nghiệm của y’ là x = 1 và x = 2m − 1.

Hệ số của x² dương nên y’ ≥ 0 bên ngoài khoảng hai nghiệm. Hàm đồng biến trên (2; +∞) khi cả hai nghiệm đều không vượt quá 2, nghĩa là nghiệm lớn ≤ 2. Vì 1 < 2 sẵn rồi, chỉ cần 2m − 1 ≤ 2, tức m ≤ 3/2.

Kiểm tra bằng cô lập m: với x > 2 thì x − 1 > 0, nên y’ ≥ 0 ⇔ x + 1 − 2m ≥ 0 ⇔ 2m ≤ x + 1 với mọi x > 2 ⇔ 2m ≤ 3. Kết quả trùng khớp: m ≤ 3/2.

Ví dụ 4. Khoảng nghịch biến có độ dài cho trước

Tìm m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

Giải. y’ = 3x² + 6x + m. Hàm nghịch biến trên khoảng (x₁; x₂) với x₁, x₂ là hai nghiệm của y’ nên cần Δ’ = 9 − 3m > 0, tức m < 3.

Theo Vi-ét: x₁ + x₂ = −2, x₁x₂ = m/3. Độ dài khoảng bằng 1 nên (x₁ − x₂)² = (x₁ + x₂)² − 4x₁x₂ = 4 − 4m/3 = 1, suy ra m = 9/4. Giá trị này thoả m < 3. Đáp số: m = 9/4.

Cách 3: Hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Với y = (ax + b)/(cx + d), đạo hàm là y’ = (ad − bc)/(cx + d)². Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào (ad − bc). Tuy nhiên hàm chỉ xác định khi x ≠ −d/c, nên khoảng K phải không chứa điểm này.

• Đồng biến trên K ⇔ ad − bc > 0 và −d/c ∉ K.
• Nghịch biến trên K ⇔ ad − bc < 0 và −d/c ∉ K.

Ví dụ 5

Tìm m để hàm số y = (mx + 4)/(x + m) đồng biến trên khoảng (1; +∞).

Giải. y’ = (m² − 4)/(x + m)². Cần m² − 4 > 0, tức m < −2 hoặc m > 2. Đồng thời x = −m không thuộc (1; +∞), tức −m ≤ 1 hay m ≥ −1.

Giao hai điều kiện: m > 2. (Với m = 2 hàm thành hằng số y = 2 nên không đồng biến.)

Ví dụ 6. Hàm hợp với tan x

Tìm m để hàm số y = (tan x − 2)/(tan x − m) đồng biến trên khoảng (0; π/4).

Giải. Đặt t = tan x. Khi x ∈ (0; π/4) thì t ∈ (0; 1) và t tăng theo x, nên y đồng biến theo x khi và chỉ khi hàm y = (t − 2)/(t − m) đồng biến theo t trên (0; 1).

Ta có y’_t = (2 − m)/(t − m)². Cần 2 − m > 0, tức m < 2, và m ∉ (0; 1), tức m ≤ 0 hoặc m ≥ 1. Đáp số: m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2.

Lưu ý: khi đổi biến phải đổi luôn khoảng K và kiểm tra chiều biến thiên của biến mới.

Những lỗi sai thường gặp

• Dùng Δ ≤ 0 cho mọi bài. Đó là điều kiện đơn điệu trên ℝ. Với khoảng K, chỉ cần y’ không đổi dấu trên K.
• Chia hai vế cho biểu thức đổi dấu khi cô lập m, làm đảo chiều bất đẳng thức sai.
• Quên kiểm tra giá trị biên của m khi g không đạt max/min trên khoảng mở.
• Quên điều kiện xác định ở hàm phân thức: nghiệm của mẫu không được nằm trong K.
• Nhầm “≥” với “>”: y’ = 0 tại hữu hạn điểm vẫn cho phép hàm đơn điệu.

Bài luyện tập có đáp án

1. Tìm m để hàm số y = (mx + 4)/(x + m) nghịch biến trên khoảng (1; +∞).
2. Tìm m để hàm số y = −x³ + 3x² + mx − 1 đồng biến trên khoảng (0; 2).
3. Tìm m để hàm số y = 2x³ − 3(m + 1)x² + 6mx đồng biến trên khoảng (2; +∞).

Đáp án và gợi ý.

1. y’ = (m² − 4)/(x + m)² < 0 ⇔ −2 < m < 2, và −m ≤ 1 ⇔ m ≥ −1. Đáp số: −1 ≤ m < 2.
2. y’ = −3x² + 6x + m ≥ 0 ⇔ m ≥ 3x² − 6x = h(x) trên (0; 2). Hàm h có giá trị nhỏ nhất −3 tại x = 1 và tiến dần tới 0 ở hai đầu, nên cận trên đúng là 0. Do đó m ≥ 0 (thử m = 0: y’ = 3x(2 − x) ≥ 0 trên [0; 2]). Đáp số: m ≥ 0.
3. y’ = 6(x − 1)(x − m). Đồng biến trên (2; +∞) khi nghiệm lớn nhất không vượt quá 2, tức m ≤ 2. Đáp số: m ≤ 2.

Tài liệu ôn tập tiếp theo

• 50 bài trắc nghiệm tính đơn điệu của hàm số chứa tham số m
• Bài toán VD – VDC về tính đơn điệu của hàm số
• Các dạng toán về hàm ẩn liên quan đến tính đơn điệu
• Cực trị có tham số

Câu hỏi thường gặp

Khi nào dùng cô lập tham số m, khi nào dùng tam thức bậc hai?

Nếu m xuất hiện bậc nhất trong y' thì cô lập m là nhanh nhất. Nếu y' phân tích được thành nhân tử hoặc nghiệm có dạng đẹp theo m thì so sánh nghiệm với đầu mút của K sẽ gọn hơn. Có thể dùng cách còn lại để kiểm tra kết quả.

Đồng biến trên khoảng K có cần y' > 0 không, hay y' ≥ 0 là đủ?

Chỉ cần y' ≥ 0 với mọi x thuộc K và dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm. Ví dụ y' = 3(x − 1)² vẫn cho hàm đồng biến vì chỉ bằng 0 tại x = 1.

Với hàm phân thức bậc nhất, vì sao phải thêm điều kiện −d/c không thuộc K?

Tại x = −d/c hàm không xác định. Nếu điểm này nằm trong K thì hàm không liên tục trên K và không thể đơn điệu trên toàn khoảng K.

Khi g(x) không đạt giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất trên K thì làm thế nào?

Xét bảng biến thiên để tìm cận trên đúng hoặc cận dưới đúng của g trên K, rồi thử riêng giá trị m bằng cận đó vào y' để biết có nhận hay loại.

Bài học liên quan

• Chọn mệnh đề đúng: ln(a/b) = ln a − ln b với a, b > 0
• Nguyên hàm của ln x: ∫ ln x dx bằng bao nhiêu?
• Thể tích khối lập phương có cạnh 2a bằng bao nhiêu? Đáp án 8a³
• Khối 12 mặt đều là khối đa diện đều thuộc loại nào? {4;3} hay {5;3}
• Hình chóp tứ giác đều có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
• Cho hàm số y = f(x), đồ thị y = f'(x) như hình: y = f(2 − x) đồng biến trên khoảng nào?