Trả lời nhanh
Tam giác đều cạnh a nội tiếp đường tròn bán kính R thì R = a√3/3 (hay R = a/√3). Lý do: tâm O của đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm, nên R = OA = 2/3 đường cao = 2/3 · a√3/2 = a√3/3.
Kết quả cần nhớ
Với tam giác đều ABC có cạnh a, đường tròn ngoại tiếp (O; R) có:
- Bán kính ngoại tiếp: R = a√3/3
- Suy ngược lại: a = R√3
- Đường cao: h = a√3/2
- Bán kính đường tròn nội tiếp: r = a√3/6 = R/2
Đề bài gốc có thể cho các phương án khác nhau, nhưng đáp án đúng luôn là biểu thức bằng a√3/3. Nếu một phương án viết là a/√3 thì nó cũng đúng, vì chỉ là cách viết khác sau khi trục căn thức.
Cách 1: Dùng tính chất trọng tâm
Trong tam giác đều, đường trung tuyến đồng thời là đường cao, đường trung trực và đường phân giác. Vì vậy ba đường trung trực cắt nhau tại trọng tâm, tức tâm O của đường tròn ngoại tiếp cũng là trọng tâm G.
- Gọi M là trung điểm BC. Tam giác ABM vuông tại M, AB = a, BM = a/2 nên AM = √(a² − a²/4) = a√3/2.
- Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 kể từ đỉnh, nên OA = 2/3 · AM.
- R = OA = 2/3 · a√3/2 = a√3/3.
Cách 2: Dùng định lí sin
Trong tam giác ABC bất kì có a/sin A = 2R. Tam giác đều có góc A = 60°, sin 60° = √3/2, nên:
2R = a : (√3/2) = 2a/√3, suy ra R = a/√3 = a√3/3.
Cách này nhanh và dùng được cả khi đề cho bán kính rồi hỏi cạnh: a = 2R·sin 60° = R√3.
Vì sao các giá trị khác là sai?
| Giá trị hay bị chọn nhầm | Thực chất là gì |
|---|---|
| a√3/2 | Đường cao của tam giác đều, không phải bán kính (R chỉ bằng 2/3 đường cao) |
| a√3/6 | Bán kính đường tròn nội tiếp r (bằng 1/3 đường cao) |
| a√2/2 | Bán kính ngoại tiếp của hình vuông cạnh a |
| a/2 | Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông cân có cạnh huyền a, hoặc nửa cạnh; không dùng cho tam giác đều |
Mẹo nhớ: đường cao chia thành 3 phần bằng nhau; R chiếm 2 phần, r chiếm 1 phần. Do đó R = 2r. Chỉ cần nhớ h = a√3/2 là suy ra mọi thứ.
Kiểm tra nhanh: R phải lớn hơn nửa cạnh (a/2) vì đường kính 2R phải lớn hơn cạnh a. Thật vậy a√3/3 ≈ 0,577a > 0,5a.
Bài luyện tập
- Tam giác đều cạnh 9 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Đáp án: R = 9√3/3 = 3√3 cm ≈ 5,2 cm. - Đường tròn (O; 4 cm) ngoại tiếp tam giác đều ABC. Tính cạnh và chu vi tam giác.
Đáp án: a = 4√3 cm, chu vi = 12√3 cm. - Tam giác đều có cạnh √6. Tính diện tích hình tròn ngoại tiếp.
Đáp án: R = √6/√3 = √2, diện tích = π·(√2)² = 2π.
Lỗi sai thường gặp
- Lấy R bằng đường cao hoặc bằng cả trung tuyến mà quên nhân 2/3.
- Nhầm tâm O với trung điểm một cạnh (chỉ đúng với tam giác vuông).
- Quên trục căn: để a/√3 vẫn đúng nhưng nên đổi thành a√3/3 cho gọn khi so sánh với đáp án.
Câu hỏi thường gặp
Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều là gì?
Với tam giác đều cạnh a, R = a√3/3 = a/√3. Ngược lại, nếu biết R thì cạnh a = R√3.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác đều khác nhau thế nào?
Tâm hai đường tròn trùng nhau (trọng tâm). R = a√3/3 còn r = a√3/6, nên R = 2r.
Có thể dùng công thức R = abc/(4S) cho tam giác đều không?
Được. Với a = b = c và S = a²√3/4, ta có R = a³/(a²√3) = a/√3 = a√3/3, trùng với kết quả trên.
Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều nằm ở đâu?
Tâm O nằm ở giao điểm ba đường trung tuyến (cũng là ba đường cao, trung trực, phân giác), cách mỗi đỉnh một khoảng R và cách mỗi cạnh một khoảng R/2.