Trả lời nhanh
Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là giao điểm O của hai đường chéo. Bán kính R bằng nửa độ dài đường chéo: R = √(a² + b²) / 2, với a, b là hai kích thước của hình chữ nhật. Lý do: hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên O cách đều bốn đỉnh.
Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là gì?
Đường tròn ngoại tiếp một đa giác là đường tròn đi qua tất cả các đỉnh của đa giác đó. Với hình chữ nhật ABCD, đó là đường tròn đi qua cả bốn điểm A, B, C, D.
Không phải tứ giác nào cũng có đường tròn ngoại tiếp, nhưng hình chữ nhật thì luôn có. Tâm của nó là điểm cách đều bốn đỉnh.
Cách xác định tâm
- Vẽ hai đường chéo AC và BD của hình chữ nhật.
- Gọi O là giao điểm của chúng. Đây chính là tâm đường tròn ngoại tiếp.
- Lấy bán kính R = OA (cũng bằng OB, OC, OD) rồi vẽ đường tròn (O; R).
Cũng có thể nói O là tâm đối xứng của hình chữ nhật, đồng thời là giao điểm của hai trục đối xứng (hai đường thẳng đi qua trung điểm các cặp cạnh đối).
Chứng minh vì sao O là tâm
Cách 1 – dùng tính chất đường chéo. Hình chữ nhật là hình bình hành nên hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường: OA = OC và OB = OD. Hình chữ nhật còn có hai đường chéo bằng nhau: AC = BD. Suy ra OA = OB = OC = OD = AC/2. Vậy bốn đỉnh cùng nằm trên đường tròn tâm O, bán kính AC/2.
Cách 2 – dùng góc vuông. Tam giác ABC vuông tại B nên B nằm trên đường tròn đường kính AC. Tương tự, tam giác ADC vuông tại D nên D cũng nằm trên đường tròn đường kính AC. Vậy cả bốn điểm A, B, C, D thuộc đường tròn đường kính AC, có tâm là trung điểm O của AC.
Cách 2 còn cho thấy một ý hay: góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông, và ngược lại.
Công thức tính bán kính
Gọi a, b là chiều dài và chiều rộng. Theo định lí Pythagore, đường chéo d = √(a² + b²). Do đó:
R = d/2 = √(a² + b²) / 2
| Hình | Tâm | Bán kính |
|---|---|---|
| Hình chữ nhật a × b | Giao điểm hai đường chéo | √(a² + b²) / 2 |
| Hình vuông cạnh a | Giao điểm hai đường chéo | a√2 / 2 |
Hình vuông là trường hợp đặc biệt a = b, nên √(2a²)/2 = a√2/2.
Ví dụ minh hoạ
Ví dụ 1. Hình chữ nhật có hai cạnh 6 cm và 8 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
Đường chéo d = √(6² + 8²) = √100 = 10 cm. Vậy R = 10 : 2 = 5 cm.
Ví dụ 2. Hình chữ nhật nội tiếp đường tròn bán kính 10 cm, một cạnh dài 12 cm. Tính cạnh còn lại.
Đường chéo là đường kính nên d = 20 cm. Cạnh còn lại b = √(20² − 12²) = √(400 − 144) = √256 = 16 cm.
Mẹo nhớ: thấy hình chữ nhật nội tiếp đường tròn thì lập tức nghĩ «đường chéo = đường kính». Từ đó bài toán quy về tam giác vuông quen thuộc.
Điều ngược lại: khi nào hình bình hành nội tiếp được?
Một hình bình hành nội tiếp được đường tròn thì là hình chữ nhật. Thật vậy, tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng 180°, còn hình bình hành có hai góc đối bằng nhau. Mỗi góc đó bằng 180° : 2 = 90°, nên hình bình hành có bốn góc vuông.
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm bán kính với đường chéo. R chỉ bằng nửa đường chéo; quên chia 2 là lỗi hay gặp nhất.
- Lấy R = (a + b)/2. Sai, vì đường chéo không bằng a + b mà phải tính bằng Pythagore.
- Áp dụng cho hình thoi hoặc hình bình hành bất kì. Các hình này nói chung không có đường tròn ngoại tiếp (hình thoi chỉ có khi nó là hình vuông). Hình thoi có đường tròn nội tiếp, khác với ngoại tiếp.
- Nhầm với đường tròn nội tiếp. Hình chữ nhật không phải là hình có cạnh nào cũng tiếp xúc với một đường tròn, trừ khi nó là hình vuông.
Bài tập luyện tập
- Hình chữ nhật có hai cạnh 9 cm và 12 cm. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp.
- Đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật có bán kính 5 cm, chiều dài 8 cm. Tính chiều rộng và diện tích hình chữ nhật.
- Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh 4 cm.
Đáp án.
- d = √(81 + 144) = √225 = 15 cm, R = 7,5 cm.
- d = 10 cm, chiều rộng = √(100 − 64) = 6 cm; diện tích = 8 × 6 = 48 cm².
- R = 4√2 / 2 = 2√2 cm ≈ 2,83 cm.
Câu hỏi thường gặp
Tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật nằm ở đâu?
Tâm nằm tại giao điểm O của hai đường chéo, cũng là trung điểm của mỗi đường chéo và là tâm đối xứng của hình chữ nhật.
Công thức bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật là gì?
R = √(a² + b²) / 2, trong đó a và b là chiều dài, chiều rộng. Đó chính là nửa độ dài đường chéo.
Hình bình hành có đường tròn ngoại tiếp không?
Chỉ khi hình bình hành đó là hình chữ nhật. Hình bình hành có hai góc đối bằng nhau, muốn nội tiếp được thì tổng hai góc đối phải bằng 180°, nên mỗi góc là 90°.
Đường tròn ngoại tiếp hình vuông cạnh a có bán kính bao nhiêu?
R = a√2 / 2, vì hình vuông là hình chữ nhật có a = b nên đường chéo bằng a√2.