Trả lời nhanh
Với hàm số bậc nhất y = ax + b (a ≠ 0), hàm số đồng biến trên R khi a > 0 và nghịch biến trên R khi a < 0. Chỉ hệ số a quyết định chiều biến thiên; hệ số b chỉ làm đồ thị tịnh tiến lên hoặc xuống, không ảnh hưởng đến việc hàm tăng hay giảm.
Nhắc lại: thế nào là hàm số đồng biến, nghịch biến?
Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K. Lấy hai giá trị bất kì x1, x2 thuộc K sao cho x1 < x2.
- Nếu f(x1) < f(x2) thì hàm số đồng biến trên K (x tăng thì y tăng).
- Nếu f(x1) > f(x2) thì hàm số nghịch biến trên K (x tăng thì y giảm).
Mẹo nhớ: đi từ trái sang phải trên đồ thị, nếu thấy mình “leo dốc” là đồng biến, nếu “xuống dốc” là nghịch biến.
Điều kiện để hàm số y = ax + b đồng biến, nghịch biến
| Hệ số a | Kết luận | Đồ thị |
|---|---|---|
| a > 0 | Đồng biến trên R | Đường thẳng đi lên từ trái sang phải |
| a < 0 | Nghịch biến trên R | Đường thẳng đi xuống từ trái sang phải |
| a = 0 | Không còn là hàm bậc nhất (y = b là hàm hằng) | Đường thẳng song song với trục Ox |
Vì sao a > 0 thì đồng biến? Chứng minh ngắn gọn
Lấy x1 < x2 bất kì, ta xét hiệu:
f(x1) − f(x2) = (ax1 + b) − (ax2 + b) = a(x1 − x2).
Vì x1 < x2 nên x1 − x2 < 0. Do đó:
- Nếu a > 0: tích a(x1 − x2) < 0, tức f(x1) < f(x2) → hàm số đồng biến.
- Nếu a < 0: tích a(x1 − x2) > 0, tức f(x1) > f(x2) → hàm số nghịch biến.
Hằng số b bị triệt tiêu khi trừ hai vế, nên b không tham gia vào kết luận. Đó là lý do chỉ cần nhìn dấu của a.
Ví dụ minh hoạ
| Hàm số | Hệ số a | Kết luận |
|---|---|---|
| y = 3x − 7 | 3 > 0 | Đồng biến |
| y = −x/2 + 4 | −1/2 < 0 | Nghịch biến |
| y = 5 − 2x | −2 < 0 (viết lại y = −2x + 5) | Nghịch biến |
| y = √2·x | √2 > 0 | Đồng biến |
Lưu ý hàm số y = 5 − 2x: phải đưa về dạng ax + b rồi mới đọc a, tức a = −2 chứ không phải 5.
Dạng bài hay gặp: tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = (m − 3)x + 2 đồng biến trên R.
Hàm số đồng biến khi hệ số của x dương: m − 3 > 0 ⇔ m > 3. (Khi m > 3 thì m ≠ 3 nên đây vẫn là hàm bậc nhất.)
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = (2 − m)x + 5 nghịch biến trên R.
Cần 2 − m < 0 ⇔ m > 2.
Ví dụ 3. Chứng tỏ hàm số y = (m² + 1)x − 4 luôn đồng biến với mọi m.
Vì m² ≥ 0 nên m² + 1 ≥ 1 > 0 với mọi m. Hệ số a luôn dương nên hàm số luôn đồng biến.
Ví dụ 4. Cho hàm số y = (m − 1)x + 3 có đồ thị đi qua A(2; 7). Hàm số đồng biến hay nghịch biến?
Thay x = 2, y = 7: 2(m − 1) + 3 = 7 ⇔ m − 1 = 2 ⇔ m = 3. Khi đó a = m − 1 = 2 > 0 nên hàm số đồng biến.
Mở rộng lớp 9: hàm số y = ax² (a ≠ 0)
Ở lớp 9, học sinh còn gặp hàm số bậc hai y = ax². Khác với hàm bậc nhất, hàm này không tăng hoặc giảm trên toàn R mà phụ thuộc dấu của x:
- Nếu a > 0: nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0 (giá trị nhỏ nhất y = 0 tại x = 0).
- Nếu a < 0: đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0 (giá trị lớn nhất y = 0 tại x = 0).
Ví dụ: y = −2x² có a = −2 < 0 nên đồng biến khi x < 0 và nghịch biến khi x > 0.
Lỗi sai thường gặp
- Nhìn nhầm b thay vì a. Với y = 5 − 2x, nhiều bạn kết luận “đồng biến vì 5 > 0”. Đúng phải là a = −2 nên nghịch biến.
- Quên điều kiện a ≠ 0. Khi giải “m − 1 ≥ 0” là sai; hàm bậc nhất cần a > 0 hoặc a < 0 chặt.
- Nhầm “tăng” với “dương”. Hàm y = 2x − 10 đồng biến dù có nhiều giá trị âm; đồng biến nói về xu hướng tăng, không phải dấu của giá trị y.
- Áp dụng quy tắc y = ax + b cho y = ax². Hai loại hàm này có tính chất biến thiên khác nhau.
Bài luyện tập có đáp án
- Hàm số y = −0,5x + 1 đồng biến hay nghịch biến?
Đáp án: a = −0,5 < 0 nên nghịch biến. - Tìm m để hàm số y = (3m + 6)x − 1 đồng biến trên R.
Đáp án: 3m + 6 > 0 ⇔ m > −2. - Tìm m để hàm số y = (m² − 4)x + 1 là hàm bậc nhất nghịch biến.
Đáp án: m² − 4 < 0 ⇔ −2 < m < 2 (khi đó a ≠ 0 tự thoả). - Cho y = (m − 1)x², hàm số đồng biến khi x > 0 với giá trị nào của m?
Đáp án: cần m − 1 > 0 ⇔ m > 1.
Câu hỏi thường gặp
Hàm số y = ax + b đồng biến khi nào?
Khi a > 0. Lúc đó x tăng thì y tăng và đồ thị là đường thẳng đi lên từ trái sang phải.
Hệ số b có ảnh hưởng đến tính đồng biến, nghịch biến không?
Không. Khi lấy f(x1) − f(x2) thì b bị triệt tiêu, nên chiều biến thiên chỉ phụ thuộc dấu của a. Hệ số b chỉ cho biết đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ b.
Nếu a = 0 thì hàm số y = ax + b đồng biến hay nghịch biến?
Khi a = 0 hàm số thành y = b là hàm hằng, không đồng biến cũng không nghịch biến, và không được gọi là hàm số bậc nhất.
Hàm số y = ax² đồng biến khi nào?
Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0 và nghịch biến khi x < 0. Nếu a < 0 thì ngược lại.