Trả lời nhanh
Với a = 3, b = 5, c = 7, ta có cos C = −1/2 nên C = 120°. Diện tích S = 15√3/4. Bán kính đường tròn ngoại tiếp R = abc/(4S) = 7√3/3 ≈ 4,04. Bán kính đường tròn nội tiếp r = S/p = √3/2 ≈ 0,87, với p = 15/2 là nửa chu vi.
Đề bài và hướng giải
Đề: Cho tam giác ABC có a = BC = 3, b = CA = 5, c = AB = 7. Tính bán kính đường tròn nội tiếp và đường tròn ngoại tiếp của tam giác.
Muốn tính R và r, ta cần diện tích S, vì hai công thức quen thuộc đều dùng S:
- R = abc/(4S), hoặc R = a/(2sin A) (định lí sin).
- r = S/p, với p = (a + b + c)/2.
Ba cạnh đã biết nên ta có hai đường tìm S: công thức Heron, hoặc định lí côsin rồi S = ½·ab·sin C. Dưới đây làm cả hai để đối chiếu.
Lời giải chi tiết
Bước 0. Kiểm tra tam giác tồn tại. 3 + 5 = 8 > 7 nên ba số này lập được tam giác.
Bước 1. Tìm góc C (góc đối diện cạnh lớn nhất).
cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) = (9 + 25 − 49)/(2·3·5) = −15/30 = −1/2.
Suy ra C = 120°, sin C = √3/2. Đây là tam giác tù.
Bước 2. Diện tích.
S = ½·a·b·sin C = ½·3·5·(√3/2) = 15√3/4.
Kiểm tra bằng Heron: p = (3 + 5 + 7)/2 = 15/2, nên S² = p(p − a)(p − b)(p − c) = (15/2)(9/2)(5/2)(1/2) = 675/16. Do đó S = √675/4 = 15√3/4. Hai cách cho cùng kết quả.
Bước 3. Bán kính đường tròn ngoại tiếp.
R = abc/(4S) = (3·5·7)/(4·15√3/4) = 105/(15√3) = 7/√3 = 7√3/3.
Đối chiếu bằng định lí sin: R = c/(2sin C) = 7/(2·√3/2) = 7/√3. Khớp.
Bước 4. Bán kính đường tròn nội tiếp.
r = S/p = (15√3/4) : (15/2) = (15√3/4)·(2/15) = √3/2.
Đáp số: R = 7√3/3 ≈ 4,04; r = √3/2 ≈ 0,87.
Vì sao kết quả hợp lí?
- Tam giác tù (C = 120°) nên tâm đường tròn ngoại tiếp nằm ngoài tam giác, ở phía đối diện đỉnh C so với cạnh AB. Vì vậy R khá lớn so với các cạnh: R ≈ 4,04 > 3 và > 5/2.
- Cạnh lớn nhất c = 7 là dây cung của đường tròn ngoại tiếp nên phải nhỏ hơn hoặc bằng đường kính 2R ≈ 8,08. Đúng.
- Đường tròn nội tiếp luôn nằm trong tam giác, nên r phải nhỏ; r ≈ 0,87 là hợp lí với tam giác “dẹt” này.
Bảng công thức cần nhớ
| Đại lượng | Công thức | Khi nào dùng |
|---|---|---|
| Định lí côsin | cos C = (a² + b² − c²)/(2ab) | Biết 3 cạnh, tìm góc |
| Diện tích | S = ½ab·sin C; Heron: √[p(p−a)(p−b)(p−c)] | Biết hai cạnh và góc xen giữa / biết 3 cạnh |
| Bán kính ngoại tiếp | R = abc/(4S) = a/(2sin A) | Có S hoặc có góc và cạnh đối |
| Bán kính nội tiếp | r = S/p | Có S và chu vi |
Lỗi sai thường gặp
- Nhầm p với chu vi: p là nửa chu vi. Dùng p = 15 thay vì 7,5 sẽ ra r gấp đôi.
- Quên mẫu số 4S: R = abc/(4S), không phải abc/S hay abc/(2S).
- Bấm nhầm dấu côsin: cos C âm thì C tù, đừng lấy C = 60°. sin 120° vẫn bằng √3/2 nên diện tích không đổi, nhưng R tính theo c/(2sin C) vẫn đúng chỉ khi biết đúng góc đối diện cạnh c.
- Không rút gọn: 7/√3 nên trục căn thức thành 7√3/3.
Mẹo nhớ: “R ở trên có 4S, r ở dưới có p” – R = abc/(4S), r = S/p.
Bài luyện tập
- Tam giác ABC có ba cạnh 6, 8, 10. Tính R và r.
Đáp án: tam giác vuông, S = 24, p = 12; R = 10/2 = 5 (cạnh huyền chia đôi), r = 24/12 = 2. - Tam giác có ba cạnh 13, 14, 15. Tính R và r.
Đáp án: p = 21, S = √(21·8·7·6) = 84; R = (13·14·15)/(4·84) = 2730/336 = 65/8; r = 84/21 = 4. - Tam giác đều cạnh a. Chứng minh R = 2r.
Gợi ý: S = a²√3/4, p = 3a/2, nên R = a³/(a²√3) = a√3/3 và r = (a²√3/4)/(3a/2) = a√3/6. Vậy R = 2r.
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì?
R = abc/(4S), trong đó a, b, c là ba cạnh và S là diện tích. Ngoài ra có thể dùng định lí sin: R = a/(2sin A) = b/(2sin B) = c/(2sin C).
Tam giác có ba cạnh 3, 5, 7 là tam giác gì?
Là tam giác tù. Cạnh lớn nhất là 7 có 7² = 49 lớn hơn 3² + 5² = 34, nên góc đối diện (góc C) là góc tù, bằng 120°.
Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác tính thế nào?
r = S/p, trong đó S là diện tích tam giác và p là nửa chu vi. Với tam giác 3, 5, 7: r = (15√3/4)/(15/2) = √3/2.
Có thể tính diện tích khi chỉ biết ba cạnh không?
Có. Dùng công thức Heron S = √[p(p−a)(p−b)(p−c)] với p là nửa chu vi, hoặc tính một góc bằng định lí côsin rồi dùng S = ½ab·sin C.