Trả lời nhanh
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc so le trong bằng nhau. Giả thiết: a // b và đường thẳng c cắt a, b. Kết luận: mỗi cặp góc so le trong đều bằng nhau. Định lí được chứng minh bằng phản chứng, dựa vào tiên đề Ơ-clit: qua một điểm ngoài đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường thẳng đó.
Viết giả thiết và kết luận của định lí
Mọi định lí đều có dạng “Nếu … thì …”. Phần sau chữ “nếu” là giả thiết (GT), phần sau chữ “thì” là kết luận (KL).
- GT: hai đường thẳng a và b song song; đường thẳng c cắt a tại A, cắt b tại B.
- KL: hai góc so le trong bằng nhau, tức là ∠NAB = ∠ABP và ∠MAB = ∠ABQ (các điểm xem hình dưới).
Trên hình, M, N nằm trên a (M bên trái, N bên phải điểm A); P, Q nằm trên b (P bên trái, Q bên phải điểm B). Hai góc ∠NAB và ∠ABP cùng nằm giữa hai đường thẳng a, b (góc “trong”) và nằm về hai phía khác nhau của c (so le).
Chứng minh định lí
Ta dùng phương pháp phản chứng: giả sử kết luận sai rồi chỉ ra điều vô lí.
- Giả sử ∠NAB ≠ ∠ABP.
- Qua A, vẽ đường thẳng a′ sao cho góc so le trong với ∠ABP bằng ∠ABP, nghĩa là ∠N′AB = ∠ABP (N′ cùng phía với N so với c). Vì a′ ≠ a (do ∠N′AB ≠ ∠NAB nên hai tia khác nhau), nên a′ và a là hai đường thẳng phân biệt.
- Hai đường thẳng a′ và b bị c cắt tạo cặp góc so le trong bằng nhau, nên theo dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song: a′ // b.
- Như vậy qua điểm A ngoài đường thẳng b có hai đường thẳng a và a′ cùng song song với b. Điều này mâu thuẫn với tiên đề Ơ-clit.
- Vậy giả sử sai, suy ra ∠NAB = ∠ABP. Cặp ∠MAB và ∠ABQ bằng nhau chứng minh tương tự (hoặc cùng bù với hai góc đã bằng nhau).
Mẹo nhớ: dấu hiệu nhận biết đi từ “góc bằng nhau” suy ra “song song”; định lí này đi chiều ngược lại, từ “song song” suy ra “góc bằng nhau”. Hai chiều ghép lại thành một câu “song song ⇔ so le trong bằng nhau”.
Các hệ quả suy ra từ định lí
Khi a // b và c cắt a, b thì có tám góc tạo thành, nhưng chỉ có hai giá trị: một số đo x và số đo bù với nó (180° − x).
| Cặp góc | Quan hệ |
|---|---|
| So le trong | Bằng nhau |
| Đồng vị | Bằng nhau |
| Trong cùng phía | Bù nhau (tổng 180°) |
Vì sao đồng vị bằng nhau? Một góc đồng vị với góc cho trước thì đối đỉnh với góc so le trong của nó. Góc so le trong bằng nhau, góc đối đỉnh bằng nhau, nên hai góc đồng vị bằng nhau. Tương tự, hai góc trong cùng phía mỗi góc bù với một góc so le trong nên tổng của chúng bằng 180°.
Lỗi sai thường gặp
- Dùng định lí khi chưa biết a // b. Nếu hai đường thẳng không song song thì các góc so le trong không bằng nhau. Muốn chứng minh song song, phải dùng dấu hiệu nhận biết, không dùng định lí này.
- Nhầm so le trong với đồng vị. So le trong nằm giữa hai đường thẳng, khác phía c; đồng vị nằm cùng phía c và một góc nằm trong, một góc nằm ngoài.
- Nhầm “bằng nhau” với “bù nhau” ở cặp góc trong cùng phía.
Bài luyện tập có đáp án
Bài 1. Cho a // b, đường thẳng c cắt a tại A, cắt b tại B. Biết ∠NAB = 65°. Tính ∠ABP và ∠ABQ.
Đáp án: ∠ABP = ∠NAB = 65° (so le trong). ∠ABQ kề bù với ∠ABP nên ∠ABQ = 180° − 65° = 115°.
Bài 2. Cho a // b và c cắt hai đường thẳng đó. Hai góc trong cùng phía hơn kém nhau 40°. Tìm số đo hai góc này.
Đáp án: hai góc trong cùng phía bù nhau. Gọi góc nhỏ là x thì góc lớn là x + 40°, nên x + (x + 40°) = 180°, suy ra x = 70°. Hai góc là 70° và 110°.
Bài 3. Chứng minh rằng nếu a // b và c cắt a, b thì hai góc đồng vị bằng nhau.
Gợi ý: gọi góc đồng vị cần chứng minh là ∠1 và ∠2. Gọi ∠3 là góc đối đỉnh của ∠1. Khi đó ∠3 và ∠2 là cặp so le trong nên ∠3 = ∠2; mà ∠1 = ∠3 (đối đỉnh) nên ∠1 = ∠2.
Câu hỏi thường gặp
Nếu một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì các góc đồng vị có bằng nhau không?
Có. Khi một đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì hai góc đồng vị bằng nhau, hai góc so le trong bằng nhau và hai góc trong cùng phía bù nhau.
Định lí này khác gì dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song?
Dấu hiệu nhận biết đi từ góc bằng nhau để kết luận hai đường thẳng song song. Định lí này đi chiều ngược lại: biết hai đường thẳng song song thì suy ra các góc so le trong bằng nhau.
Vì sao phải dùng tiên đề Ơ-clit khi chứng minh?
Vì phép chứng minh phản chứng cần chỉ ra có hai đường thẳng khác nhau cùng đi qua một điểm và cùng song song với một đường thẳng cho trước, điều này trái với tiên đề Ơ-clit.
Hai góc trong cùng phía có bằng nhau không?
Không nhất thiết. Hai góc trong cùng phía của hai đường thẳng song song có tổng bằng 180°. Chúng chỉ bằng nhau khi mỗi góc là 90°.