Định lí cosin và định lí sin: lí thuyết Toán 10 CTST

Trả lời nhanh

Định lí cosin: trong tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c, ta có a² = b² + c² − 2bc·cos A (tương tự cho b², c²). Định lí sin: a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Định lí cosin dùng khi biết hai cạnh và góc xen giữa hoặc biết ba cạnh; định lí sin dùng khi biết một cạnh và hai góc.

Bài học này nằm ở đâu trong Toán 10 Chân trời sáng tạo?

Định lí cosin và định lí sin thuộc chương Hệ thức lượng trong tam giác của Toán 10 Chân trời sáng tạo, tập một. Bài học nối tiếp phần giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180° và là nền tảng cho bài giải tam giác, ứng dụng đo đạc thực tế.

Em cần nắm chắc trước: giá trị lượng giác của các góc đặc biệt (30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°) và quy tắc cos(180° − α) = −cos α, sin(180° − α) = sin α.

Quy ước kí hiệu trong cả bài: tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c (cạnh đối diện góc nào thì mang chữ thường của góc đó); R là bán kính đường tròn ngoại tiếp, r là bán kính đường tròn nội tiếp, p = (a + b + c)/2 là nửa chu vi, S là diện tích.

Định lí cosin phát biểu thế nào?

Trong mọi tam giác, bình phương một cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng:

a² = b² + c² − 2bc·cos A
b² = c² + a² − 2ca·cos B
c² = a² + b² − 2ab·cos C

Vì sao công thức đúng? Ta có vectơ BC = AC − AB. Bình phương vô hướng hai vế: BC² = AC² + AB² − 2·AC·AB·cos A, chính là a² = b² + c² − 2bc·cos A. Như vậy định lí cosin thực chất là tích vô hướng của hai vectơ viết dưới dạng độ dài.

Liên hệ với định lí Pythagore: khi A = 90° thì cos A = 0, công thức trở về a² = b² + c². Vì vậy có thể xem định lí cosin là “định lí Pythagore mở rộng” cho tam giác bất kì.

Hệ quả: tính góc khi biết ba cạnh

Chuyển vế công thức trên, ta được:

cos A = (b² + c² − a²) / (2bc)
cos B = (c² + a² − b²) / (2ca)
cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)

Từ dấu của tử số, em nhận biết ngay dạng góc mà không cần bấm máy:

So sánh	Dấu của cos A	Góc A
a² < b² + c²	Dương	Nhọn
a² = b² + c²	Bằng 0	Vuông
a² > b² + c²	Âm	Tù

Mẹo: chỉ cần xét góc đối diện cạnh lớn nhất. Nếu góc đó nhọn thì cả tam giác nhọn.

Định lí sin phát biểu thế nào?

Trong tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính R:

a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R

Ý tưởng chứng minh: vẽ đường kính BD của đường tròn ngoại tiếp. Nếu A nhọn, góc BDC = góc A (cùng chắn cung BC) và tam giác BCD vuông tại C nên BC = BD·sin D, tức a = 2R·sin A. Nếu A tù, góc D = 180° − A và sin D = sin A nên kết quả vẫn đúng; nếu A vuông thì a = 2R hiển nhiên.

Các dạng biến đổi hay dùng:

a = 2R·sin A; sin A = a / (2R)
R = a / (2 sin A)
Tỉ số a : b : c = sin A : sin B : sin C (cạnh lớn hơn đối diện góc lớn hơn)

Khi nào dùng định lí cosin, khi nào dùng định lí sin?

Dữ kiện đã biết	Định lí nên dùng	Tìm được gì
Hai cạnh và góc xen giữa (c.g.c)	Cosin	Cạnh thứ ba, sau đó tính các góc
Ba cạnh (c.c.c)	Hệ quả định lí cosin	Cả ba góc
Một cạnh và hai góc (g.c.g, g.g.c)	Sin (sau khi tính góc thứ ba = 180° − tổng hai góc)	Hai cạnh còn lại, R
Hai cạnh và một góc không xen giữa	Sin hoặc cosin, cần kiểm tra số nghiệm	Có thể có 0, 1 hoặc 2 tam giác

Các công thức tính diện tích tam giác đi kèm

S = ½·a·h_a (cạnh nhân đường cao tương ứng)
S = ½·bc·sin A = ½·ca·sin B = ½·ab·sin C
S = abc / (4R)
S = p·r
Công thức Heron: S = √[p(p − a)(p − b)(p − c)]

Công thức S = abc/(4R) có được bằng cách thay sin C = c/(2R) (định lí sin) vào S = ½ab·sin C. Hiểu mối nối này thì em không cần học thuộc rời rạc.

Ví dụ có lời giải

Ví dụ 1 (c.g.c). Tam giác ABC có b = 5, c = 8, A = 60°. Tính a.

Giải: a² = 25 + 64 − 2·5·8·cos 60° = 89 − 40 = 49, suy ra a = 7.

Ví dụ 2 (c.c.c). Tam giác có ba cạnh 3, 5, 7. Tam giác này nhọn, vuông hay tù? Tính diện tích.

Giải: Góc lớn nhất đối diện cạnh 7: cos = (9 + 25 − 49)/(2·3·5) = −15/30 = −½, nên góc đó bằng 120°, tam giác tù. Diện tích S = ½·3·5·sin 120° = 15√3/4 ≈ 6,50. Kiểm tra bằng Heron: p = 7,5; S = √(7,5·4,5·2,5·0,5) = √42,1875 ≈ 6,50. Hai cách cho cùng kết quả.

Ví dụ 3 (định lí sin). Tam giác ABC có A = 45°, B = 60°, a = 10. Tính b, góc C và R.

Giải: C = 180° − 45° − 60° = 75°. b = a·sin B / sin A = 10·(√3/2)/(√2/2) = 5√6 ≈ 12,25. R = a/(2 sin A) = 10/√2 = 5√2 ≈ 7,07.

Ví dụ 4 (thực tế). Muốn đo khoảng cách giữa hai điểm A, B ở hai bờ một hồ nước, người ta đứng tại C đo được CA = 60 m, CB = 80 m và góc ACB = 60°. Tính AB.

Giải: AB² = 60² + 80² − 2·60·80·cos 60° = 10 000 − 4 800 = 5 200, nên AB = 20√13 ≈ 72,1 m.

Lỗi sai thường gặp và mẹo nhớ

Quên dấu trừ hoặc quên số 2 trong “−2bc·cos A”. Mẹo: viết định lí Pythagore trước rồi “trừ thêm phần hiệu chỉnh 2bc·cos A”.
Ghép sai cạnh với góc: cạnh a luôn đối diện góc A, góc A xen giữa hai cạnh b và c.
Máy tính để chế độ radian: bấm cos 60 ra số lạ. Hãy chuyển máy sang chế độ độ (Deg) trước khi tính.
Dùng định lí sin để tìm góc rồi chỉ lấy một nghiệm: vì sin α = sin(180° − α), từ sin B có thể ra hai giá trị B. Cần kiểm tra tổng các góc nhỏ hơn 180° và “cạnh lớn đối diện góc lớn”. Khi tìm góc, dùng hệ quả định lí cosin sẽ an toàn hơn vì cos phân biệt được góc nhọn và góc tù.

Bài tập tự luyện

Tam giác ABC có a = 6, b = 8, C = 120°. Tính c. Đáp số: c² = 36 + 64 + 48 = 148, c = 2√37 ≈ 12,17.
Tam giác có ba cạnh 5, 6, 7. Tính diện tích và R. Đáp số: p = 9, S = √(9·4·3·2) = 6√6 ≈ 14,70; R = abc/(4S) = 210/(24√6) = 35√6/24 ≈ 3,57.
Tam giác ABC có a = 12, B = 30°, C = 105°. Tính b. Đáp số: A = 45°, b = 12·sin 30°/sin 45° = 6√2 ≈ 8,49.

Muốn ôn lại toàn bộ chương trình, em có thể xem Giải SGK Toán 10 Chân trời sáng tạo và tổng hợp công thức vectơ lớp 10 để thấy mối liên hệ giữa tích vô hướng và định lí cosin.

Câu hỏi thường gặp

Định lí cosin dùng khi nào?

Khi biết hai cạnh và góc xen giữa (để tính cạnh thứ ba) hoặc biết ba cạnh (để tính các góc của tam giác).

Định lí sin liên hệ với bán kính đường tròn ngoại tiếp như thế nào?

Trong tam giác ABC, a/sin A = b/sin B = c/sin C = 2R, với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Làm sao biết tam giác nhọn hay tù khi biết ba cạnh?

Xét góc đối diện cạnh lớn nhất a: nếu a² < b² + c² thì tam giác nhọn, bằng thì vuông, lớn hơn thì tù.

Định lí cosin có liên quan gì đến định lí Pythagore?

Khi góc A bằng 90° thì cos A = 0, định lí cosin trở thành a² = b² + c², chính là định lí Pythagore.