Đề thi Toán lớp 8 học kì 1 có đáp án: 3 đề ôn tập giải chi tiết

Cấu trúc đề và phạm vi kiến thức học kì 1 Toán 8

Đề cuối học kì 1 Toán 8 thường dùng thang 10 điểm, làm trong 90 phút. Phần đại số chiếm khoảng 5 đến 6 điểm, phần hình học khoảng 3 đến 4 điểm. Mỗi bộ sách sắp xếp chương hơi khác nhau, vì vậy trước khi làm đề, em nên xem lại đề cương của trường mình để biết phạm vi thi.

Mạch kiến thức	Dạng bài hay gặp	Điểm thường gặp
Đa thức nhiều biến	Thu gọn, tìm bậc, nhân và chia đa thức	1 – 1,5
Hằng đẳng thức đáng nhớ	Khai triển, tính nhanh, tìm giá trị nhỏ nhất	1 – 1,5
Phân tích đa thức thành nhân tử	Phân tích nhân tử, tìm x	1,5 – 2
Phân thức đại số (tùy bộ sách)	Tìm điều kiện xác định, rút gọn, cộng trừ phân thức	0 – 2
Tứ giác	Chứng minh hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông	2,5 – 3

Ở một số bộ sách, phân thức đại số được học sang học kì 2. Nếu trường em chưa học phần này, em có thể bỏ qua các câu về phân thức trong Đề 3.

Đề số 1 (mức cơ bản)

Phần trắc nghiệm (3 điểm, mỗi câu 0,5 điểm)

Câu 1. Bậc của đa thức 3x²y³ − 5xy + 7 là:
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6

Câu 2. Khai triển (x − 3)² được:
A. x² − 9 B. x² − 6x + 9 C. x² + 6x + 9 D. x² − 3x + 9

Câu 3. Kết quả của phép chia 12x⁴y³ : 4x²y là:
A. 3x²y² B. 3x²y³ C. 8x²y² D. 3x⁶y⁴

Câu 4. Tứ giác ABCD có góc A = 80°, góc B = 100°, góc C = 70°. Số đo góc D là:
A. 100° B. 110° C. 120° D. 90°

Câu 5. Hình bình hành có một góc vuông là:
A. Hình thoi B. Hình thang cân C. Hình chữ nhật D. Hình vuông

Câu 6. Một hình thoi có chu vi 20 cm. Độ dài cạnh của hình thoi đó là:
A. 5 cm B. 4 cm C. 10 cm D. 80 cm

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm). Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x² − 12x; b) x² − 2xy + y² − 25; c) x³ − 8.

Bài 2 (1,5 điểm). Tìm x, biết: a) 2x(x − 3) − (x − 3) = 0; b) (x + 2)² − x(x + 1) = 10.

Bài 3 (1 điểm). Rút gọn biểu thức A = (x + 3)(x − 3) − (x − 2)², rồi tính giá trị của A tại x = 2,5.

Bài 4 (2,5 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với A qua M.
a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.
b) Chứng minh AM = BC/2.
c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABDC là hình vuông?

Bài 5 (0,5 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x² − 6x + 11.

Đáp án Đề số 1

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	C	B	A	B	C	A

• Câu 1: Hạng tử 3x²y³ có bậc 2 + 3 = 5, cao nhất trong ba hạng tử, nên đa thức có bậc 5. Nếu chọn B (bậc 3) là em chỉ lấy số mũ của y mà quên cộng thêm số mũ của x.
• Câu 4: Tổng bốn góc của một tứ giác là 360°, nên góc D = 360° − (80° + 100° + 70°) = 110°.
• Câu 6: Bốn cạnh của hình thoi bằng nhau, nên cạnh = 20 : 4 = 5 cm.

Bài 1.

• a) 3x² − 12x = 3x(x − 4).
• b) Ta có x² − 2xy + y² − 25 = (x − y)² − 5² = (x − y − 5)(x − y + 5).
• c) x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4).

Bài 2.

• a) Đặt nhân tử chung: (x − 3)(2x − 1) = 0. Suy ra x = 3 hoặc x = 1/2.
• b) Khai triển vế trái: x² + 4x + 4 − x² − x = 10, tức là 3x + 4 = 10, nên x = 2. Thử lại: (2 + 2)² − 2·3 = 16 − 6 = 10, đúng.

Bài 3. A = x² − 9 − (x² − 4x + 4) = 4x − 13. Tại x = 2,5 ta có A = 10 − 13 = −3. Em chú ý phải đổi dấu cả ba hạng tử khi bỏ ngoặc có dấu trừ đằng trước. Bước này rất hay bị sai.

Bài 4.

• a) Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BC cắt nhau tại M. M là trung điểm của BC (giả thiết) và cũng là trung điểm của AD (vì D đối xứng với A qua M). Vậy ABDC là hình bình hành. Hình bình hành này có góc BAC = 90° nên ABDC là hình chữ nhật.
• b) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau nên AD = BC. Mà AM = AD/2, do đó AM = BC/2.
• c) Hình chữ nhật ABDC là hình vuông khi hai cạnh kề bằng nhau, tức là AB = AC. Vậy tam giác ABC cần là tam giác vuông cân tại A. Lưu ý đề cho AB < AC, nên câu c đang xét một trường hợp khác với giả thiết ban đầu.

Bài 5. P = (x² − 6x + 9) + 2 = (x − 3)² + 2 ≥ 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 3. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2, đạt được khi x = 3.

Đề số 2 (mức cơ bản – khá)

Phần trắc nghiệm (3 điểm)

Câu 1. Đơn thức đồng dạng với −2x²y là:
A. 5x²y B. −2xy² C. x²y² D. 2xy

Câu 2. Giá trị của x thỏa mãn x² − 8x + 16 = 0 là:
A. x = 8 B. x = 4 C. x = −8 D. x = −4

Câu 3. Phân tích đa thức −x² − 6x − 9 thành nhân tử được:
A. −(x − 3)² B. −(x + 3)² C. (x + 3)² D. (x − 3)²

Câu 4. Khai triển (a + b)³ được:
A. a³ + b³ B. a³ + 3ab + b³ C. a³ + 3a²b + 3ab² + b³ D. a³ + a²b + ab² + b³

Câu 5. Khẳng định nào sau đây sai?
A. Hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau là hình vuông.
B. Hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật.
C. Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau là hình thang cân.
D. Hình thoi có một góc vuông là hình vuông.

Câu 6. Hình bình hành ABCD có góc A = 70°. Số đo góc B là:
A. 70° B. 110° C. 20° D. 290°

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1 (1,5 điểm). Thực hiện phép tính:
a) 2x(3x² − x + 4);
b) (x + 2)(x² − 3x + 1);
c) (6x³y² − 9x²y³ + 3xy²) : 3xy².

Bài 2 (1,5 điểm). Phân tích thành nhân tử: a) x² + 6x + 9 − y²; b) 2x³ − 8x; c) x² − 5x + 6.

Bài 3 (1 điểm). Chứng minh biểu thức B = (x − 1)³ − x(x² − 3x + 3) không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài 4 (2,5 điểm). Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Một đường thẳng đi qua O cắt AB tại E và cắt CD tại F.
a) Chứng minh OE = OF.
b) Chứng minh tứ giác AECF là hình bình hành.
c) Nếu EF vuông góc với AC thì tứ giác AECF là hình gì? Vì sao?

Bài 5 (0,5 điểm). Cho x + y = 5 và xy = 6. Tính x³ + y³.

Đáp án Đề số 2

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	A	B	B	C	C	B

• Câu 2: x² − 8x + 16 = (x − 4)² = 0, suy ra x = 4.
• Câu 3: Đặt dấu trừ ra ngoài: −(x² + 6x + 9) = −(x + 3)². Phương án A sai dấu bên trong ngoặc. Phương án C và D bỏ mất dấu trừ ở ngoài.
• Câu 5: Phát biểu C sai. Hình bình hành có hai cạnh bên bằng nhau nhưng thường không phải hình thang cân. Muốn kết luận hình thang cân, ta cần hai góc kề một đáy bằng nhau hoặc hai đường chéo bằng nhau.
• Câu 6: Hai góc kề một cạnh của hình bình hành có tổng bằng 180°, nên góc B = 110°.

Bài 1.

• a) 6x³ − 2x² + 8x.
• b) Ta có x³ − 3x² + x + 2x² − 6x + 2 = x³ − x² − 5x + 2.
• c) 2x² − 3xy + 1. Em chú ý: hạng tử 3xy² chia cho chính nó được 1, không phải 0.

Bài 2.

• a) (x + 3)² − y² = (x + 3 − y)(x + 3 + y).
• b) 2x(x² − 4) = 2x(x − 2)(x + 2).
• c) Tách −5x = −2x − 3x: x² − 2x − 3x + 6 = x(x − 2) − 3(x − 2) = (x − 2)(x − 3).

Bài 3. B = x³ − 3x² + 3x − 1 − x³ + 3x² − 3x = −1. Kết quả là một hằng số, nên B không phụ thuộc vào x.

Bài 4.

• a) Xét tam giác OAE và tam giác OCF, ta có: OA = OC (tính chất đường chéo hình bình hành); góc AOE bằng góc COF (hai góc đối đỉnh); góc OAE bằng góc OCF (so le trong, vì AB // CD). Do đó tam giác OAE bằng tam giác OCF (g.c.g), suy ra OE = OF.
• b) Tứ giác AECF có hai đường chéo AC và EF cắt nhau tại O, và O là trung điểm của mỗi đường. Vậy AECF là hình bình hành.
• c) Khi EF vuông góc với AC, hình bình hành AECF có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi.

Bài 5. x³ + y³ = (x + y)³ − 3xy(x + y) = 125 − 90 = 35. Có thể kiểm tra nhanh với x = 2, y = 3: 8 + 27 = 35.

Đề số 3 (mức khá – giỏi, có phân thức)

Phần trắc nghiệm (3 điểm)

Câu 1. Điều kiện xác định của phân thức (x + 1)/(x − 3) là:
A. x ≠ −1 B. x ≠ 3 C. x ≠ −3 D. x ≠ 0

Câu 2. Rút gọn phân thức (x² − 4)/(x + 2) với x ≠ −2 được:
A. x + 2 B. x − 4 C. x − 2 D. x² − 2

Câu 3. Mẫu thức chung đơn giản nhất của hai phân thức 1/(x − 1) và 3/(x² − 1) là:
A. (x − 1)² B. x² − 1 C. (x² − 1)(x − 1) D. x + 1

Câu 4. Giá trị của 101² − 1 là:
A. 10200 B. 10000 C. 10201 D. 10100

Câu 5. Hình thang cân ABCD (AB // CD) có góc D = 65°. Số đo góc A là:
A. 65° B. 115° C. 125° D. 25°

Câu 6. Tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường là:
A. Hình chữ nhật B. Hình thang cân C. Hình thoi D. Hình thang

Phần tự luận (7 điểm)

Bài 1 (2 điểm). Cho biểu thức A = x/(x − 2) + 2/(x + 2) − 8/(x² − 4).
a) Tìm điều kiện xác định của A.
b) Rút gọn A, rồi tính giá trị của A tại x = 0.
c) Tìm các số nguyên x để A nhận giá trị nguyên.

Bài 2 (1,5 điểm). Tìm x, biết: a) x² − 25 = 0; b) (2x − 1)² − (x + 3)² = 0.

Bài 3 (3 điểm). Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC. Lấy điểm E đối xứng với A qua M.
a) Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi.
b) Chứng minh BE // AC và BE = AC.
c) Tam giác ABC cần thêm điều kiện gì để tứ giác ABEC là hình vuông?

Bài 4 (0,5 điểm). Chứng minh x² − x + 1 > 0 với mọi số thực x.

Đáp án Đề số 3

Câu	1	2	3	4	5	6
Đáp án	B	C	B	A	B	C

• Câu 4: 101² − 1 = (101 − 1)(101 + 1) = 100 · 102 = 10200. Phương án C là giá trị của 101², tức là quên trừ 1.
• Câu 5: Trong hình thang cân, góc C = góc D = 65°. Góc A và góc D là hai góc trong cùng phía nên có tổng 180°. Vậy góc A = 115°.

Bài 1.

• a) Vì x² − 4 = (x − 2)(x + 2), nên A xác định khi x ≠ 2 và x ≠ −2.
• b) Quy đồng với mẫu chung (x − 2)(x + 2). Tử số bằng x(x + 2) + 2(x − 2) − 8 = x² + 4x − 12 = (x + 6)(x − 2). Rút gọn được A = (x + 6)/(x + 2). Tại x = 0 (thỏa mãn điều kiện), A = 6/2 = 3.
• c) Viết A = 1 + 4/(x + 2). A nguyên khi x + 2 là ước của 4, tức x + 2 ∈ {±1; ±2; ±4}. Từ đó x ∈ {−1; −3; 0; −4; 2; −6}. Loại x = 2 vì không thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy x ∈ {−6; −4; −3; −1; 0}.

Bài 2.

• a) (x − 5)(x + 5) = 0, suy ra x = 5 hoặc x = −5.
• b) Dùng hiệu hai bình phương: (2x − 1 − x − 3)(2x − 1 + x + 3) = (x − 4)(3x + 2) = 0. Suy ra x = 4 hoặc x = −2/3.

Bài 3.

• a) M là trung điểm của BC và của AE, nên ABEC là hình bình hành. Tam giác ABC cân tại A nên đường trung tuyến AM cũng là đường cao, tức AE vuông góc với BC. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi.
• b) ABEC là hình thoi nên các cặp cạnh đối song song và bằng nhau. Do đó BE // AC và BE = AC.
• c) Hình thoi ABEC là hình vuông khi có một góc vuông, tức góc BAC = 90°. Vậy tam giác ABC cần vuông cân tại A.

Bài 4. x² − x + 1 = (x − 1/2)² + 3/4 ≥ 3/4 > 0 với mọi x.

Lỗi sai thường gặp khi làm đề học kì 1 Toán 8

• Quên đổi dấu khi bỏ ngoặc: khi gặp −(x − 2)², em phải khai triển trong ngoặc trước rồi mới đổi dấu từng hạng tử.
• Nhầm (a − b)² với a² − b²: đây là lỗi mất điểm nhiều nhất ở phần trắc nghiệm.
• Chia hai vế cho biểu thức chứa x: ví dụ từ x(x − 2) = 3(x − 2) mà chia cả hai vế cho x − 2 thì sẽ mất nghiệm x = 2. Em nên chuyển hết sang một vế rồi đặt nhân tử chung.
• Không đối chiếu điều kiện xác định: ở bài tìm x nguyên của phân thức, nhiều bạn quên loại giá trị làm mẫu bằng 0.
• Thiếu căn cứ khi chứng minh hình: viết “ABCD là hình chữ nhật” mà không nêu dấu hiệu nhận biết (hình bình hành có một góc vuông, hai đường chéo bằng nhau…) thì sẽ bị trừ điểm.

Mẹo phân bổ 90 phút làm bài

1. Dành khoảng 15 phút cho phần trắc nghiệm. Với câu khó, em có thể thử từng phương án bằng một giá trị cụ thể của x.
2. Dành 30 phút cho các bài đại số. Tìm được x xong, em nên thay lại vào đề để kiểm tra.
3. Dành 35 phút cho bài hình. Em vẽ hình to, rõ, ghi giả thiết và kết luận trước. Nếu câu a không làm được, em vẫn được dùng kết quả của câu a để làm câu b.
4. Dành 10 phút cuối cho câu vận dụng cao và soát lại dấu, đơn vị.

Muốn ôn kĩ hơn, em có thể xem thêm đề cương học kì 1 môn Toán lớp 8, luyện bộ 15 đề thi Toán 8 học kì 1 hoặc bộ 8 đề có ma trận. Để hệ thống lại kiến thức nửa đầu học kì, em xem đề giữa học kì 1 Toán 8.

Bài luyện tập thêm (có đáp số)

1. Phân tích thành nhân tử: x² − 7x + 10. Đáp số: (x − 2)(x − 5).
2. Tìm x, biết x³ − 9x = 0. Đáp số: x = 0, x = 3, x = −3.
3. Cho hình chữ nhật ABCD có AC cắt BD tại O, và AB = AO. Tính số đo góc AOB. Đáp số: 60° (tam giác AOB đều, vì AO = BO = AB).

Câu hỏi thường gặp

Đề thi học kì 1 Toán 8 gồm những nội dung nào?

Đề thường có các phần đa thức nhiều biến, hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử và các loại tứ giác. Tùy bộ sách, đề có thể có thêm phân thức đại số. Em nên đối chiếu với đề cương của trường để biết chính xác phạm vi thi.

Đề thi học kì 1 Toán 8 có bao nhiêu phần trắc nghiệm?

Phần lớn các trường dùng cấu trúc khoảng 3 điểm trắc nghiệm và 7 điểm tự luận, làm trong 90 phút. Cũng có trường cho 2 điểm trắc nghiệm hoặc chỉ ra đề tự luận.

Làm sao để không mất điểm bài hình tứ giác?

Em cần vẽ hình chính xác và ghi đủ giả thiết, kết luận. Mỗi lần kết luận một hình đặc biệt, em phải nêu rõ dấu hiệu nhận biết đã dùng, ví dụ hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.

Học sinh trung bình nên ôn đề học kì 1 Toán 8 thế nào?

Em nên ôn chắc 7 hằng đẳng thức, các cách phân tích đa thức thành nhân tử và dấu hiệu nhận biết từng loại tứ giác. Sau đó luyện các đề cơ bản như Đề 1 và Đề 2 trước, rồi mới thử sức với câu vận dụng cao.

Bài học liên quan

• Đề thi giữa kì 1 Toán 8 có đáp án: 2 đề mẫu và bộ đề luyện thêm
• 22 bài tập tính chất đường phân giác của tam giác Toán 8 (có đáp án)
• Giải SGK Toán 8 Cánh diều Tập 1, Tập 2 đầy đủ 8 chương, chi tiết
• Cho tam giác ABC vuông tại A, M thuộc BC, MD ⊥ AB, ME ⊥ AC: lời giải chi tiết
• Cho tam giác ABC vuông tại A, M, N là trung điểm: cách giải
• Xác định a, b sao cho x⁴ + 4 chia hết cho x² + ax + b