Trả lời nhanh
Nhóm 10 học sinh có 3 em kết quả Tốt, 4 em Khá và 3 em Đạt. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 em, gọi X là số em Tốt được chọn. X nhận 0, 1, 2, 3 với xác suất 35/120, 63/120, 21/120 và 1/120. Xác suất có ít nhất một em Tốt là 1 − 35/120 = 85/120 = 17/24.
Đề bài biến ngẫu nhiên rời rạc
Đây là bài luyện tập – vận dụng ở đầu chuyên đề biến ngẫu nhiên rời rạc, Chuyên đề học tập Toán 12 bộ Cánh diều. Đề gốc nói: một nhóm có 10 học sinh, trong đó 3 học sinh kết quả học tập Tốt, 4 học sinh kết quả học tập Khá, số còn lại xếp Đạt. Chọn ngẫu nhiên đồng thời 3 học sinh. Gọi X là số học sinh Tốt có trong 3 em được chọn.
- Lập bảng phân bố xác suất của X.
- Tính xác suất để trong 3 em được chọn có ít nhất một học sinh Tốt.
Số em Đạt là 10 − 3 − 4 = 3. Khi đếm X, em chỉ cần tách “Tốt” và “không Tốt”: có 3 em Tốt và 7 em không Tốt (4 Khá cộng 3 Đạt). Cách chia Khá hay Đạt không đổi phân bố của X, nhưng vẫn phải đọc đề đủ để biết 7 em kia là ai.
Không gian mẫu và công thức của X
Chọn đồng thời 3 em trong 10 em, không kể thứ tự, nên số phần tử không gian mẫu là tổ hợp
n(Ω) = C(10, 3) = (10 · 9 · 8)/(3 · 2 · 1) = 120.
X không thể lớn hơn 3 vì chỉ có 3 em Tốt, và không thể âm. Vậy X ∈ {0; 1; 2; 3}.
Muốn X = k thì chọn đúng k em trong 3 em Tốt và chọn nốt 3 − k em trong 7 em còn lại:
P(X = k) = C(3, k) · C(7, 3 − k) / 120, với k = 0, 1, 2, 3.
Tính từng giá trị:
- k = 0: C(3, 0) · C(7, 3) = 1 · 35 = 35, nên P = 35/120.
- k = 1: C(3, 1) · C(7, 2) = 3 · 21 = 63, nên P = 63/120.
- k = 2: C(3, 2) · C(7, 1) = 3 · 7 = 21, nên P = 21/120.
- k = 3: C(3, 3) · C(7, 0) = 1 · 1 = 1, nên P = 1/120.
Tổng 35 + 63 + 21 + 1 = 120, chia cho 120 được 1. Bảng đã đủ và không sót trường hợp. Nếu tổng khác 1, em đếm lại tổ hợp trước khi làm câu b.
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|
| P(X) | 35/120 | 63/120 | 21/120 | 1/120 |
Rút gọn được 7/24, 21/40, 7/40 và 1/120. Khi cộng ở câu sau, để mẫu 120 tiện hơn là rút gọn ngay.
Xác suất có ít nhất một học sinh Tốt
Gọi A là biến cố “trong 3 em có ít nhất một em Tốt”. A là hợp của X = 1, X = 2 và X = 3, ba biến cố này đôi một rời nhau nên
P(A) = 63/120 + 21/120 + 1/120 = 85/120.
Rút gọn cho 5: 85/120 = 17/24.
Cách ngắn hơn dùng biến cố đối: “không có em Tốt nào”, tức X = 0, xác suất 35/120. Do đó
P(A) = 1 − 35/120 = 85/120 = 17/24.
Hai cách cùng ra 17/24. Khoảng 70,8% số cách chọn 3 em sẽ có ít nhất một em Tốt. Con số không nhỏ, vì 3 em Tốt trên 10 em và ta chọn những 3 suất: khá khó để cả ba suất đều rơi vào 7 em còn lại (chỉ 35 cách trên 120).
Kỳ vọng, để kiểm tra bảng
Chuyên đề này còn hỏi kỳ vọng. Với bảng vừa lập:
E(X) = 0·(35/120) + 1·(63/120) + 2·(21/120) + 3·(1/120) = (63 + 42 + 3)/120 = 108/120 = 9/10.
Công thức rút gọn của phép chọn không hoàn lại cho cùng kết quả: mỗi em được chọn với xác suất 3/10, có 3 em Tốt, nên E(X) = 3 · (3/10) = 9/10. Hai kết quả trùng nhau, bảng phân bố không bị nhầm cột.
Phương sai, nếu cần: E(X2) = (12·63 + 22·21 + 32·1)/120 = (63 + 84 + 9)/120 = 156/120 = 13/10. Khi đó Var(X) = 13/10 − (9/10)2 = 13/10 − 81/100 = 49/100.
Lỗi hay gặp và ba bài luyện
- Lấy mẫu số 10 hoặc 10 · 9 · 8 = 720. Chọn đồng thời thì dùng tổ hợp 120, không dùng chỉnh hợp, trừ khi đề xếp thứ tự.
- Tính C(7, 3) = 35 nhưng viết nhầm thành C(4, 3) vì chỉ nhớ 4 em Khá, quên 3 em Đạt cũng là “không Tốt”.
- Câu “ít nhất một” lại tính mỗi P(X = 1). Phải cộng cả X = 2 và X = 3, hoặc lấy 1 trừ P(X = 0).
- Rút gọn 85/120 thành 17/25. Ước chung là 5, 120 : 5 = 24 chứ không phải 25.
Bài 1. Cùng nhóm 10 em, chọn 3 em. Xác suất cả ba đều không phải học sinh Tốt?
Đáp án: P(X = 0) = 35/120 = 7/24.
Bài 2. Xác suất chọn được đúng hai học sinh Tốt?
Đáp án: P(X = 2) = 21/120 = 7/40.
Bài 3. Đổi đề: chọn 2 em thay vì 3 em. Tính P(X = 1), với X vẫn là số em Tốt.
Đáp án: n(Ω) = C(10, 2) = 45. Số cách thuận lợi C(3, 1) · C(7, 1) = 21. Xác suất 21/45 = 7/15.
Câu hỏi thường gặp
Nhóm 10 học sinh có 3 em Tốt và 4 em Khá thì có mấy em Đạt?
Có 10 - 3 - 4 = 3 em Đạt. Khi tính số em Tốt được chọn, 7 em không Tốt gồm 4 Khá và 3 Đạt.
Bảng phân bố xác suất của X là gì?
P(X = 0) = 35/120, P(X = 1) = 63/120, P(X = 2) = 21/120, P(X = 3) = 1/120. Tổng bằng 1.
Xác suất có ít nhất một học sinh Tốt là bao nhiêu?
Bằng 1 - 35/120 = 85/120 = 17/24.
Kỳ vọng của X bằng bao nhiêu?
E(X) = 9/10, đúng cả theo bảng phân bố lẫn công thức 3 nhân 3/10.