Tìm m để hàm số nghịch biến trên R, đồng biến: hàm bậc ba

Trả lời nhanh

Với hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0), ta có y’ = 3ax² + 2bx + c và Δ’ = b² − 3ac. Hàm số đồng biến trên ℝ ⇔ a > 0 và Δ’ ≤ 0; nghịch biến trên ℝ ⇔ a < 0 và Δ’ ≤ 0. Nếu hệ số của x³ chứa m thì phải xét riêng trường hợp hệ số đó bằng 0. Ví dụ: y = −x³ + mx² − 3x + 5 nghịch biến trên ℝ ⇔ m² − 9 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3.

A. Phương pháp giải

1. Cơ sở lí thuyết

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ. Nếu f'(x) ≥ 0 với mọi x và dấu “=” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên ℝ; nếu f'(x) ≤ 0 với mọi x (dấu “=” tại hữu hạn điểm) thì hàm số nghịch biến trên ℝ.

Với hàm bậc ba, y’ là một tam thức bậc hai nên chỉ có tối đa hai nghiệm, vì vậy điều kiện “dấu bằng tại hữu hạn điểm” luôn thỏa. Bài toán quy về: tìm m để tam thức bậc hai y’ không đổi dấu trên ℝ.

2. Các bước giải

Bước 1. Tập xác định D = ℝ.
Bước 2. Tính y’ = 3ax² + 2bx + c (các hệ số có thể chứa m).
Bước 3. Nếu hệ số 3a của x² trong y’ chứa m, xét trường hợp 3a = 0 trước: khi đó y’ là bậc nhất hoặc hằng số, thay m vào kiểm tra trực tiếp.
Bước 4. Khi a ≠ 0, áp dụng điều kiện trong bảng dưới, giải hệ bất phương trình theo m.
Bước 5. Hợp các trường hợp thỏa mãn và kết luận.

Yêu cầu	Điều kiện (a ≠ 0)	Khi a = 0 (a chứa m)
Đồng biến trên ℝ	a > 0 và Δ’ = b² − 3ac ≤ 0	Hàm thành y = bx² + cx + d: chỉ nhận khi b = 0 và c > 0
Nghịch biến trên ℝ	a < 0 và Δ’ = b² − 3ac ≤ 0	Chỉ nhận khi b = 0 và c < 0

Hai parabol biểu diễn đạo hàm y' của hàm bậc ba: bên trái parabol nằm trên trục hoành và tiếp xúc trục khi Δ' ≤ 0, bên phải parabol cắt trục hoành tại hai điểm khi Δ' > 0 — Hình 1. Dấu của y' quyết định tính đơn điệu: y' không âm trên ℝ khi a > 0 và Δ' ≤ 0, còn khi Δ' > 0 thì y' đổi dấu.

3. Lưu ý quan trọng

Có dấu “=” trong Δ’ ≤ 0. Khi Δ’ = 0, y’ có nghiệm kép và chỉ bằng 0 tại một điểm, hàm số vẫn đơn điệu. Bỏ dấu bằng là lỗi khiến chọn nhầm đáp án có khoảng mở.
Dùng Δ’ hay Δ đều được, miễn nhất quán. Với y’ = Ax² + Bx + C, Δ = B² − 4AC; nếu B chẵn thì dùng Δ’ = (B/2)² − AC cho gọn. Với y’ = 3ax² + 2bx + c thì Δ’ = b² − 3ac.
Hệ số a chứa m: không xét trường hợp a = 0 là lỗi phổ biến nhất, vì có những giá trị m làm hàm số thành bậc nhất mà vẫn đơn điệu.
Hàm hằng không đồng biến, không nghịch biến. Nếu với một giá trị m nào đó y’ ≡ 0 thì phải loại giá trị đó.

B. Ví dụ minh họa có lời giải

Ví dụ 1. Tìm m để hàm số y = x³ + 3x² + mx + 2 đồng biến trên ℝ.

Lời giải. y’ = 3x² + 6x + m, hệ số 3 > 0. Cần Δ’ = 9 − 3m ≤ 0 ⇔ m ≥ 3. Kiểm tra m = 3: y’ = 3(x + 1)² ≥ 0, chỉ bằng 0 tại x = −1, nên m = 3 vẫn nhận. Đáp số: m ≥ 3.

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số y = −x³ + mx² − 3x + 5 nghịch biến trên ℝ.

Lời giải. y’ = −3x² + 2mx − 3, hệ số −3 < 0. Cần Δ’ = m² − (−3)(−3) = m² − 9 ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 3.

Ví dụ 3. Tìm m để hàm số y = (1/3)x³ − (m − 1)x² + (m + 5)x − 4 đồng biến trên ℝ.

Lời giải. y’ = x² − 2(m − 1)x + m + 5, hệ số 1 > 0. Δ’ = (m − 1)² − (m + 5) = m² − 3m − 4 = (m + 1)(m − 4). Điều kiện Δ’ ≤ 0 ⇔ −1 ≤ m ≤ 4.

Ví dụ 4 (hệ số a chứa m). Tìm m để hàm số y = (1/3)(m + 1)x³ − (m + 1)x² + 3x + 1 đồng biến trên ℝ.

Lời giải. y’ = (m + 1)x² − 2(m + 1)x + 3.

m = −1: y’ = 3 > 0 với mọi x, hàm số y = 3x + 1 đồng biến. Nhận m = −1.
m ≠ −1: cần m + 1 > 0 và Δ’ = (m + 1)² − 3(m + 1) = (m + 1)(m − 2) ≤ 0. Từ đó −1 < m ≤ 2.

Hợp hai trường hợp: −1 ≤ m ≤ 2.

Ví dụ 5. Tìm m để hàm số y = mx³ − mx² − x + 1 nghịch biến trên ℝ.

Lời giải. y’ = 3mx² − 2mx − 1.

m = 0: y = −x + 1, y’ = −1 < 0, nghịch biến. Nhận m = 0.
m ≠ 0: cần 3m < 0 và Δ’ = m² − 3m·(−1) = m² + 3m ≤ 0 ⇔ −3 ≤ m ≤ 0. Kết hợp m < 0 được −3 ≤ m < 0.

Đáp số: −3 ≤ m ≤ 0.

Ví dụ 6 (đếm giá trị nguyên). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số y = x³ − 3mx² + 3(m + 6)x + 1 đồng biến trên ℝ?

Lời giải. y’ = 3x² − 6mx + 3(m + 6). Δ’ = 9m² − 9(m + 6) = 9(m − 3)(m + 2) ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 3. Các số nguyên: −2; −1; 0; 1; 2; 3. Vậy có 6 giá trị.

Ví dụ 7 (bẫy trường hợp a = 0). Tìm m để hàm số y = (1/3)(m² − 1)x³ + (m + 1)x² + 3x + 5 đồng biến trên ℝ.

Lời giải. y’ = (m² − 1)x² + 2(m + 1)x + 3.

m = 1: y’ = 4x + 3 đổi dấu tại x = −3/4, loại.
m = −1: y’ = 3 > 0, nhận.
m ≠ ±1: cần m² − 1 > 0 (tức m < −1 hoặc m > 1) và Δ’ = (m + 1)² − 3(m² − 1) = (m + 1)(4 − 2m) ≤ 0 ⇔ (m + 1)(m − 2) ≥ 0 ⇔ m ≤ −1 hoặc m ≥ 2. Giao lại được m < −1 hoặc m ≥ 2.

Hợp các trường hợp: m ≤ −1 hoặc m ≥ 2. Ví dụ này cho thấy hai giá trị làm a = 0 có thể cho kết quả trái ngược nhau, nên phải thử từng giá trị.

C. Bài tập trắc nghiệm tự luyện (có đáp án)

Câu 1. Hàm số y = x³ − mx² + 3x − 1 đồng biến trên ℝ khi

A. m ≥ 3
B. −3 ≤ m ≤ 3
C. −3 < m < 3
D. m ≤ −3

Câu 2. Tìm m để y = x³ + 3x² + 3mx − 1 đồng biến trên ℝ.

A. m ≥ 1
B. m > 1
C. m ≤ 1
D. m < 1

Câu 3. Hàm số y = −(1/3)x³ + mx² − (m + 2)x + 1 nghịch biến trên ℝ khi

A. −2 ≤ m ≤ 1
B. −1 < m < 2
C. −1 ≤ m ≤ 2
D. m ≤ −1 hoặc m ≥ 2

Câu 4. Hàm số y = (1/3)x³ − (m − 1)x² + 2(m − 1)x − 2 luôn tăng trên ℝ khi

A. 1 ≤ m ≤ 3
B. 0 ≤ m ≤ 3
C. m ≥ 1
D. Không có m

Câu 5. Tìm m để y = (1/3)(m + 2)x³ − (m + 2)x² + (m − 8)x + 1 nghịch biến trên ℝ.

A. m < −2
B. m ≤ −2
C. m > −2
D. m ≥ −2

Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [−10; 10] để y = x³ − 3(m + 1)x² + 3(m + 3)x + 2 đồng biến trên ℝ?

A. 3
B. 4
C. 5
D. Vô số

Đáp án và hướng dẫn ngắn

Câu	Đáp án	Hướng dẫn
1	B	y’ = 3x² − 2mx + 3; Δ’ = m² − 9 ≤ 0
2	A	y’ = 3x² + 6x + 3m; Δ’ = 9 − 9m ≤ 0
3	C	y’ = −x² + 2mx − (m + 2); Δ’ = m² − m − 2 = (m + 1)(m − 2) ≤ 0
4	A	y’ = x² − 2(m − 1)x + 2(m − 1); Δ’ = (m − 1)(m − 3) ≤ 0
5	B	m = −2: y = −10x + 1 nghịch biến (nhận). m ≠ −2: cần m + 2 < 0 và Δ’ = 10(m + 2) ≤ 0 ⇒ m < −2
6	B	Δ’ = 9(m + 2)(m − 1) ≤ 0 ⇔ −2 ≤ m ≤ 1; có 4 số nguyên −2, −1, 0, 1

D. Sai lầm thường gặp và cách tránh

Viết Δ’ < 0 thay vì Δ’ ≤ 0. Hậu quả là đánh rơi các giá trị biên như m = 3 ở Ví dụ 1. Nhớ rằng nghiệm kép không làm y’ đổi dấu.
Quên điều kiện về dấu của a. Δ’ ≤ 0 chỉ cho biết y’ không đổi dấu; còn đồng biến hay nghịch biến phụ thuộc vào dấu hệ số của x² trong y’.
Bỏ sót trường hợp a = 0 khi hệ số của x³ chứa m (Ví dụ 4, 5, 7 và Câu 5).
Tính sai Δ’ khi hệ số b chứa m, đặc biệt dạng −2(m − 1): (b/2)² = (m − 1)², không phải 4(m − 1)².
Nhầm “đồng biến trên ℝ” với “đồng biến trên một khoảng”. Bài toán trên một khoảng (a; b) cần cô lập m hoặc xét dấu y’ trên khoảng đó, không dùng được điều kiện Δ’ ≤ 0 một cách máy móc.

Câu hỏi thường gặp

Điều kiện để hàm số bậc ba nghịch biến trên R là gì?

Với y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0), hàm số nghịch biến trên ℝ khi và chỉ khi a < 0 và Δ' = b² − 3ac ≤ 0.

Vì sao điều kiện là Δ' ≤ 0 mà không phải Δ' < 0?

Khi Δ' = 0, y' có nghiệm kép nên chỉ bằng 0 tại một điểm và không đổi dấu, hàm số vẫn đồng biến hoặc nghịch biến trên ℝ.

Nếu hệ số của x³ chứa m thì làm thế nào?

Em xét riêng giá trị m làm hệ số đó bằng 0, thay vào kiểm tra trực tiếp, sau đó mới áp dụng điều kiện a > 0 (hoặc a < 0) và Δ' ≤ 0 cho trường hợp còn lại rồi hợp kết quả.

Hàm số bậc ba có thể đồng biến trên R khi a < 0 không?

Không. Nếu a < 0 thì y' là tam thức có hệ số x² âm, sẽ âm khi |x| đủ lớn, nên hàm số không thể đồng biến trên ℝ.

Δ' của y' = 3ax² + 2bx + c tính thế nào?

Δ' = b² − 3ac, vì hệ số của x là 2b nên nửa hệ số là b và tích hai hệ số còn lại là 3a·c.