Trả lời nhanh
Để tính góc φ giữa cạnh bên SC và mặt bên (SAB), em tìm hình chiếu vuông góc H của điểm C lên mặt phẳng (SAB); khi đó φ = góc CSH, với 0° ≤ φ ≤ 90°. Nếu khó dựng hình chiếu, dùng công thức sin φ = d(C, (SAB)) : SC, rồi suy ra cos φ hoặc tan φ khi đề yêu cầu. Trường hợp hay gặp nhất: một cạnh đáy đi qua C vuông góc với mặt bên (ví dụ BC ⊥ (SAB) khi SA ⊥ đáy và ABCD là hình vuông), lúc đó hình chiếu của C chính là B và φ = góc CSB.
I. Phương pháp giải
1. Nhắc lại định nghĩa
Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) (khi d không vuông góc với (P)) là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (P). Nếu d ⊥ (P) thì góc bằng 90°; nếu d song song hoặc nằm trong (P) thì góc bằng 0°. Vì vậy góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn thuộc đoạn [0°; 90°].
Với cạnh bên SC và mặt bên (SAB), hai đối tượng đã có chung điểm S. Chỉ cần tìm thêm hình chiếu H của C trên (SAB) là có ngay hình chiếu SH của SC, và φ = góc CSH. Tam giác CSH vuông tại H nên:
- sin φ = CH : SC, trong đó CH = d(C, (SAB));
- cos φ = SH : SC;
- tan φ = CH : SH.
2. Hai cách làm
Cách 1: Dựng hình chiếu trực tiếp. Tìm một đường thẳng qua C vuông góc với (SAB). Muốn chứng minh CH ⊥ (SAB), em chứng minh CH vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong (SAB). Thông thường đó là một cạnh đáy (BC, CD, CM…) vừa vuông góc với giao tuyến của mặt bên với đáy, vừa vuông góc với đường cao của hình chóp.
Cách 2: Dùng khoảng cách. Khi hình chiếu nằm ở vị trí khó xác định, em tính d(C, (SAB)) bằng các kĩ thuật đổi điểm:
- Nếu C nằm trên đường thẳng song song với (SAB) thì d(C, (SAB)) bằng khoảng cách từ một điểm khác trên đường đó.
- Nếu đường thẳng CO cắt (SAB) tại I thì d(C, (SAB)) : d(O, (SAB)) = CI : OI.
- Khoảng cách từ chân đường cao H đến mặt bên: kẻ HE ⊥ giao tuyến, HK ⊥ SE thì HK là khoảng cách, với 1/HK2 = 1/SH2 + 1/HE2.
Sau đó áp dụng sin φ = d(C, (SAB)) : SC.
3. Các cấu hình thường gặp
| Giả thiết | Cạnh bên – mặt bên | Hình chiếu và góc cần tìm |
|---|---|---|
| S.ABCD, đáy hình vuông hoặc hình chữ nhật, SA ⊥ đáy | SC và (SAB) | BC ⊥ (SAB), góc CSB |
| Như trên | SC và (SAD) | CD ⊥ (SAD), góc CSD |
| S.ABC, đáy vuông tại B, SA ⊥ đáy | SC và (SAB) | BC ⊥ (SAB), góc CSB |
| S.ABC, đáy đều, SA ⊥ đáy | SC và (SAB) | Kẻ CM ⊥ AB (M trung điểm AB), góc CSM |
| Hình chóp đều | SA và (SCD) | Dùng d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) |
II. Ví dụ minh họa có lời giải
Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa SC và mặt phẳng (SAB).
Lời giải. Ta có BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông) và BC ⊥ SA (SA ⊥ đáy), nên BC ⊥ (SAB). Vậy B là hình chiếu của C trên (SAB), góc cần tìm là φ = góc CSB.
SB = √(SA2 + AB2) = a√2; SC = √(SA2 + AC2) = √(a2 + 2a2) = a√3.
sin φ = BC : SC = a : (a√3) = √3/3, hay tan φ = BC : SB = 1/√2. Suy ra φ ≈ 35,26°.
Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = a√3, SA ⊥ (ABC), SA = a√2. Tính góc giữa SC và (SAB).
Lời giải. BC ⊥ AB và BC ⊥ SA nên BC ⊥ (SAB); góc cần tìm là góc CSB. SB = √(2a2 + a2) = a√3. Tam giác SBC vuông tại B có tan φ = BC : SB = (a√3) : (a√3) = 1, nên φ = 45°.
Ví dụ 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Tính sin góc giữa cạnh bên SA và mặt bên (SCD).
Lời giải. Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO ⊥ (ABCD). OA = a√2/2 nên SO = √(a2 − a2/2) = a√2/2.
Gọi M là trung điểm CD thì OM ⊥ CD, OM = a/2. Kẻ OK ⊥ SM. Vì CD ⊥ OM và CD ⊥ SO nên CD ⊥ (SOM), suy ra CD ⊥ OK; kết hợp OK ⊥ SM được OK ⊥ (SCD).
OK = SO · OM : √(SO2 + OM2) = (a√2/2 · a/2) : √(a2/2 + a2/4) = a√6/6.
Đường thẳng AO cắt (SCD) tại C và AC = 2OC, nên d(A, (SCD)) = 2 · OK = a√6/3. Vậy sin φ = d(A, (SCD)) : SA = √6/3 (φ ≈ 54,74°).
Ví dụ 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = a√2. Tính góc giữa đường thẳng A’B và mặt bên (ACC’A’).
Lời giải. Gọi M là trung điểm AC thì BM ⊥ AC. Lăng trụ đứng nên AA’ ⊥ (ABC), suy ra BM ⊥ AA’. Do đó BM ⊥ (ACC’A’) và M là hình chiếu của B. Góc cần tìm là góc BA’M.
BM = a√3/2; A’B = √(AA’2 + AB2) = √(2a2 + a2) = a√3. sin φ = BM : A’B = 1/2, nên φ = 30°.
Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, AD = 2a, SA ⊥ (ABCD), SA = a. Tính: a) sin góc giữa SC và (SAD); b) tan góc giữa SD và (SAB).
Lời giải.
a) CD ⊥ AD và CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAD); góc cần tìm là góc CSD. SC = √(SA2 + AB2 + AD2) = √(a2 + a2 + 4a2) = a√6. sin φ = CD : SC = √6/6 (φ ≈ 24,09°).
b) AD ⊥ AB và AD ⊥ SA nên AD ⊥ (SAB); hình chiếu của D là A, góc cần tìm là góc DSA. tan φ = AD : SA = 2 (φ ≈ 63,43°).
Ví dụ 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính sin góc giữa SC và mặt phẳng (SAD).
Lời giải. Gọi H là trung điểm AB thì SH ⊥ AB; vì (SAB) ⊥ (ABCD) nên SH ⊥ (ABCD), SH = a√3/2.
AD ⊥ AB và AD ⊥ SH nên AD ⊥ (SAB), suy ra (SAD) ⊥ (SAB) theo giao tuyến SA. BC // AD nên BC // (SAD), do đó d(C, (SAD)) = d(B, (SAD)). Trong (SAB), kẻ BK ⊥ SA thì BK ⊥ (SAD), và BK là đường cao của tam giác đều cạnh a: BK = a√3/2.
HC = √(HB2 + BC2) = √(a2/4 + a2) = a√5/2; SC = √(SH2 + HC2) = √(3a2/4 + 5a2/4) = a√2.
sin φ = (a√3/2) : (a√2) = √6/4 (φ ≈ 37,76°).
III. Bài tập tự luyện có đáp án
Bài 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA ⊥ (ABC), SA = a. Tính sin góc giữa SC và (SAB).
Đáp án: √6/4. Gợi ý: gọi M là trung điểm AB thì CM ⊥ (SAB), CM = a√3/2, SC = a√2.
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥ (ABCD), SA = a√2. Tính góc giữa SC và (SAD).
Đáp án: 30°. Gợi ý: CD ⊥ (SAD), SD = a√3, tan φ = CD : SD = 1/√3.
Bài 3. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính sin và cos góc giữa cạnh AB và mặt (BCD).
Đáp án: sin φ = √6/3, cos φ = √3/3. Gợi ý: hình chiếu của A là trọng tâm G của tam giác BCD, BG = a√3/3, AG = a√6/3.
Bài 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A, AB = AC = AA’ = a. Tính sin góc giữa B’C và mặt bên (ABB’A’).
Đáp án: √3/3. Gợi ý: CA ⊥ (ABB’A’), hình chiếu của C là A; B’C = a√3, sin φ = CA : B’C.
Những lỗi thường gặp
- Chọn nhầm góc: góc giữa SC và (SAB) là góc giữa SC và hình chiếu của nó (SB trong ví dụ 1), không phải góc giữa SC và SA hay góc giữa SC với đáy.
- Không chứng minh vuông góc: phải chỉ ra đường thẳng vuông góc với hai đường cắt nhau trong mặt phẳng, chỉ vuông góc với một đường là chưa đủ.
- Nhầm sin và tan: sin φ = (khoảng cách) : (độ dài cạnh bên), còn tan φ = (khoảng cách) : (độ dài hình chiếu).
- Quên nhân hệ số khi đổi điểm: trong ví dụ 3, d(A, (SCD)) = 2d(O, (SCD)) vì AC = 2OC.
- Kết quả ngoài [0°; 90°]: nếu tính ra cos âm hoặc góc tù thì đã có sai sót, vì góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90°.
Dạng toán này thuộc phần quan hệ vuông góc trong không gian của Toán 11 và thường xuất hiện trong đề ôn thi tốt nghiệp THPT dưới dạng câu hỏi trắc nghiệm hoặc câu trả lời ngắn.
Câu hỏi thường gặp
Công thức tính góc giữa cạnh bên và mặt bên là gì?
Với cạnh bên SC và mặt bên (SAB), góc φ thỏa mãn sin φ = d(C, (SAB)) : SC; nếu biết hình chiếu H của C thì φ là góc CSH.
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng nằm trong khoảng nào?
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng luôn nằm trong đoạn từ 0° đến 90°.
Khi SA vuông góc với đáy hình vuông ABCD, góc giữa SC và (SAB) là góc nào?
Vì BC vuông góc với (SAB) nên hình chiếu của C là B, góc cần tìm là góc CSB.
Khi nào nên dùng công thức khoảng cách thay vì dựng hình chiếu?
Khi hình chiếu của điểm lên mặt bên khó xác định, ví dụ hình chóp đều hoặc mặt bên không chứa cạnh đáy vuông góc, em tính khoảng cách bằng cách đổi điểm rồi dùng sin φ.