Giải phương trình 2.10^2x = 30 chi tiết, dễ hiểu

Trả lời nhanh

Phương trình 2·10^2x = 30 tương đương 10^2x = 15, lấy logarit thập phân hai vế được 2x = log 15, nên x = (log 15)/2 = log √15 ≈ 0,588. Nếu đề của em là 2·10^2x − 3 = 0 thì 10^2x = 3/2 và x = (1/2)·log 1,5 ≈ 0,088. Mấu chốt là cô lập lũy thừa 10^2x trước, rồi mới lấy logarit.

Đề bài

Giải phương trình: 2·10^2x = 30.

Lưu ý: đường dẫn của bài viết không giữ được dấu “=” và dấu “−”, nên đề có thể được ghi là 2·10^2x − 3 = 0. Bài viết giải cả hai trường hợp; cách làm hoàn toàn giống nhau.

Lời giải chi tiết

Bước 1. Cô lập lũy thừa

Chia hai vế cho 2: 10^2x = 15.

Bước 2. Lấy logarit cơ số 10 hai vế

Vì 15 > 0 nên phương trình có nghiệm. Áp dụng: a^u = b (với a > 0, a ≠ 1, b > 0) tương đương u = log_ab. Ta được 2x = log 15.

Bước 3. Tìm x

x = (log 15)/2. Có thể viết gọn x = log √15, vì (1/2)·log 15 = log 15^1/2. Giá trị gần đúng: log 15 ≈ 1,1761, nên x ≈ 0,588.

Kết luận: phương trình có nghiệm duy nhất x = (log 15)/2.

Kiểm tra lại

Thay x = (log 15)/2: 2x = log 15, nên 10^2x = 10^{log 15} = 15 và 2·15 = 30. Đúng với vế phải.

Nếu muốn biểu diễn nghiệm qua log 2 và log 3, em dùng log 15 = log 3 + log 5 = log 3 + 1 − log 2, suy ra x = (1 + log 3 − log 2)/2.

Trường hợp đề là 2·10^2x − 3 = 0

Chuyển vế: 2·10^2x = 3, suy ra 10^2x = 3/2.
Lấy logarit thập phân: 2x = log(3/2) = log 3 − log 2.
Vậy x = (1/2)·log 1,5 ≈ 0,088.

Kiểm tra: 10^2x = 10^{log 1,5} = 1,5 và 2·1,5 − 3 = 0. Đúng.

Mở rộng: bất phương trình 2·10^2x > 30

Cùng các bước biến đổi, ta có 10^2x > 15. Vì cơ số 10 lớn hơn 1, hàm số y = 10^t đồng biến, nên khi lấy logarit thập phân hai vế, chiều bất đẳng thức được giữ nguyên: 2x > log 15, tức x > (log 15)/2. Ngược lại, 2·10^2x < 30 cho x < (log 15)/2. Nếu cơ số nằm giữa 0 và 1 (chẳng hạn 0,5^x), em phải đổi chiều bất đẳng thức khi lấy logarit cùng cơ số đó.

Để kiểm tra nhanh bằng máy tính cầm tay, em nhập biểu thức 2×10^(2X) − 30, dùng chức năng tính giá trị (CALC) với X = 0,588: kết quả gần bằng 0 là nghiệm đúng.

Phương pháp giải phương trình mũ cơ bản

Dạng a^x = b (a > 0, a ≠ 1):

Nếu b ≤ 0: phương trình vô nghiệm, vì a^x luôn dương.
Nếu b > 0: phương trình có nghiệm duy nhất x = log_ab.

Với các phương trình phức tạp hơn, em thường dùng một trong ba hướng:

Hướng giải	Khi nào dùng	Ví dụ
Đưa về cùng cơ số	Hai vế viết được thành lũy thừa của cùng một số	4^x = 2^x+3 ⇔ 2^2x = 2^x+3
Lấy logarit hai vế	Cơ số khác nhau hoặc vế phải không phải lũy thừa “đẹp”	2·10^2x = 30 ⇔ 2x = log 15
Đặt ẩn phụ	Xuất hiện a^2x và a^x cùng lúc	4^x − 3·2^x + 2 = 0, đặt t = 2^x > 0

Ví dụ tương tự có lời giải

Các ví dụ dưới đây là bài luyện thêm cùng dạng, không phải các câu còn lại của đề gốc.

Ví dụ 1. Giải 3^{x − 1} = 27.

Lời giải: 27 = 3³ nên x − 1 = 3, x = 4.

Ví dụ 2. Giải 5^2x = 7.

Lời giải: 2x = log₅7, nên x = (1/2)·log₅7 ≈ 0,605.

Ví dụ 3. Giải 4^x = 2^{x + 3}.

Lời giải: 4^x = 2^2x, nên 2^2x = 2^{x + 3}, suy ra 2x = x + 3, x = 3.

Ví dụ 4. Giải e^2x = 5.

Lời giải: Lấy logarit tự nhiên: 2x = ln 5, x = (ln 5)/2 ≈ 0,805.

Ví dụ 5. Giải 4^x − 3·2^x + 2 = 0.

Lời giải: Đặt t = 2^x (t > 0), phương trình thành t² − 3t + 2 = 0, có nghiệm t = 1 hoặc t = 2 (đều dương). Với t = 1 thì x = 0; với t = 2 thì x = 1. Tập nghiệm S = {0; 1}.

Ví dụ 6. Giải 2^x = 3^{x − 1}.

Lời giải: Lấy ln hai vế: x·ln 2 = (x − 1)·ln 3, suy ra x(ln 3 − ln 2) = ln 3, x = ln 3 / ln(3/2) ≈ 2,71.

Ví dụ 7. Giải 10^x + 2 = 0.

Lời giải: 10^x = −2 < 0, phương trình vô nghiệm.

Những lỗi thường gặp

Lấy logarit khi chưa cô lập lũy thừa: viết log(2·10^2x) = 2·2x là sai. Đúng phải là log(2·10^2x) = log 2 + 2x. Nếu đi theo cách này, em vẫn ra 2x = log 30 − log 2 = log 15.
Nhầm 10^2x với (10²)·x hay 20x: 2x là số mũ, phải dùng logarit để “hạ” xuống.
Quên chia cho 2 ở bước cuối: từ 2x = log 15 nhiều em kết luận luôn x = log 15 ≈ 1,176.
Làm tròn quá sớm: nên giữ dạng chính xác (log 15)/2 trong kết luận, chỉ ghi giá trị gần đúng khi đề yêu cầu.

Bài tập tự luyện

3·10^x = 50. Đáp án: x = log(50/3) ≈ 1,222.
10^3x = 4. Đáp án: x = (log 4)/3 ≈ 0,201.
9^x − 4·3^x + 3 = 0. Đáp án: x = 0 hoặc x = 1.
2^{x² − x} = 4. Đáp án: x = −1 hoặc x = 2.

Câu hỏi thường gặp

Phương trình 10^(2x) = 15 có mấy nghiệm?

Có đúng một nghiệm x = (log 15)/2 ≈ 0,588, vì hàm số 10^(2x) đồng biến và nhận mọi giá trị dương.

Khi nào phương trình mũ a^x = b vô nghiệm?

Khi b ≤ 0, vì lũy thừa a^x với a > 0 luôn nhận giá trị dương.

Nên lấy logarit cơ số nào để giải 2·10^(2x) = 30?

Nên lấy logarit thập phân (cơ số 10) vì cơ số của lũy thừa là 10, khi đó log 10^(2x) = 2x rất gọn.

Có thể viết nghiệm x = (log 15)/2 dưới dạng khác không?

Có, x = log √15, hoặc x = (1 + log 3 − log 2)/2; các cách viết này bằng nhau.