Trả lời nhanh
Hàm số y = f(x) là hàm lẻ khi tập xác định đối xứng qua 0 và f(−x) = −f(x) với mọi x. Với y = sin 2x ta có sin(−2x) = −sin 2x nên đây là hàm lẻ. Cần phân biệt kỹ: y = sin²x lại là hàm chẵn vì sin²(−x) = sin²x. Trong các hàm lượng giác cơ bản, sin x, tan x, cot x là hàm lẻ còn cos x là hàm chẵn.
Hàm lẻ là gì?
Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi là hàm lẻ nếu thoả mãn hai điều kiện:
- Với mọi x thuộc D thì −x cũng thuộc D (tập xác định đối xứng qua gốc 0).
- f(−x) = −f(x) với mọi x thuộc D.
Về mặt hình học, đồ thị của hàm lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng. Còn hàm chẵn có f(−x) = f(x) và đồ thị đối xứng qua trục tung.
Ba bước kiểm tra tính chẵn lẻ
- Tìm tập xác định D và xem nó có đối xứng không. Nếu không đối xứng thì kết luận ngay là hàm không chẵn, không lẻ.
- Thay x bằng −x, rút gọn f(−x).
- So sánh: f(−x) = f(x) thì hàm chẵn; f(−x) = −f(x) thì hàm lẻ; không rơi vào hai trường hợp đó thì hàm không chẵn, không lẻ.
Áp dụng cho y = sin 2x
Tập xác định là toàn bộ số thực, đối xứng qua 0. Ta có f(−x) = sin(−2x) = −sin 2x = −f(x). Vậy y = sin 2x là hàm lẻ.
Trên đồ thị, hai điểm (π/4; 1) và (−π/4; −1) đối xứng nhau qua gốc toạ độ, đúng với tính chất của hàm lẻ.
Vì sao y = sin²x không phải hàm lẻ?
Nhiều bạn nhìn thấy “sin” nên vội kết luận là hàm lẻ. Thực ra sin²x = (sin x)², nên f(−x) = (sin(−x))² = (−sin x)² = sin²x = f(x). Đây là hàm chẵn. Quy tắc dễ nhớ: bình phương một hàm lẻ cho ra hàm chẵn, vì dấu trừ bị triệt tiêu.
Bảng tính chẵn lẻ của các hàm hay gặp
| Hàm số | f(−x) | Kết luận |
|---|---|---|
| y = sin x | −sin x | Lẻ |
| y = cos x | cos x | Chẵn |
| y = tan x, y = cot x | −tan x, −cot x | Lẻ |
| y = sin 2x | −sin 2x | Lẻ |
| y = sin²x | sin²x | Chẵn |
| y = x·cos x | −x·cos x | Lẻ |
| y = x·sin x | x·sin x | Chẵn |
| y = |sin x| | |sin x| | Chẵn |
| y = sin x + cos x | −sin x + cos x | Không chẵn, không lẻ |
Mẹo nhớ nhanh
- Lẻ × lẻ = chẵn; chẵn × chẵn = chẵn; lẻ × chẵn = lẻ.
- Tổng của hai hàm lẻ là hàm lẻ; tổng của một hàm chẵn và một hàm lẻ (không phải hàm 0) thì không chẵn, không lẻ.
- Có hằng số cộng vào, ví dụ y = sin x + 1, thường làm mất tính lẻ.
Lỗi sai thường gặp
- Quên kiểm tra tập xác định, nhất là với tan x và cot x phải chú ý các điểm bị loại.
- Viết sin(−2x) = sin 2x: sai, phải là −sin 2x.
- Cho rằng chỉ cần f(−x) ≠ f(x) là hàm lẻ: còn phải kiểm tra thêm f(−x) = −f(x).
Bài luyện tập
1) Xét tính chẵn lẻ của y = x³ − sin x. Đáp án: f(−x) = −x³ + sin x = −f(x), hàm lẻ.
2) Xét tính chẵn lẻ của y = cos 3x + x². Đáp án: f(−x) = cos 3x + x² = f(x), hàm chẵn.
3) Hàm y = tan x + sin x có là hàm lẻ không? Đáp án: có, vì cả tan x và sin x đều lẻ và tập xác định đối xứng qua 0.
Câu hỏi thường gặp
Hàm số lẻ là gì?
Là hàm có tập xác định đối xứng qua 0 và thoả mãn f(−x) = −f(x) với mọi x thuộc tập xác định; đồ thị nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng.
y = sin 2x là hàm chẵn hay hàm lẻ?
Là hàm lẻ vì sin(−2x) = −sin 2x.
Vì sao y = sin²x là hàm chẵn?
Vì sin²(−x) = (−sin x)² = sin²x, nên f(−x) = f(x).
Hàm lượng giác nào là hàm lẻ?
sin x, tan x và cot x là hàm lẻ; cos x là hàm chẵn.