Trả lời nhanh
Mọi bài tập cấp số nhân đều xoay quanh ba công thức: số hạng tổng quát un = u1·qn−1; tính chất ba số hạng liên tiếp uk2 = uk−1·uk+1; tổng n số hạng đầu Sn = u1(1 − qn)/(1 − q) khi q ≠ 1. Bài viết gồm 24 bài (12 trắc nghiệm, 12 tự luận) có đáp án, mỗi bài đều được giải từng bước và đã kiểm tra lại số liệu.
Tóm tắt lý thuyết cấp số nhân trước khi làm bài
Cấp số nhân là dãy số mà kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng bằng số hạng đứng ngay trước nó nhân với một số không đổi q, gọi là công bội. Nói gọn: un+1 = un·q với mọi n ≥ 1. Phần này nằm trong chương Dãy số – Cấp số cộng – Cấp số nhân của Toán 11 ở cả ba bộ sách.
| Nội dung | Công thức | Ghi chú khi dùng |
|---|---|---|
| Định nghĩa | un+1 = un·q | Muốn chứng minh là cấp số nhân: chỉ ra un+1/un là hằng số (khi un ≠ 0) |
| Số hạng tổng quát | un = u1·qn−1 | Số mũ là n − 1, không phải n |
| Ba số hạng liên tiếp | uk2 = uk−1·uk+1 (k ≥ 2) | Ba số a, b, c lập cấp số nhân thì b2 = ac |
| Tổng n số hạng đầu | Sn = u1(1 − qn)/(1 − q) | Chỉ dùng khi q ≠ 1; nếu q = 1 thì Sn = n·u1 |
Mẹo nhận dạng nhanh: cấp số cộng là cộng thêm một số không đổi, cấp số nhân là nhân thêm một số không đổi. Nếu dãy đổi dấu liên tục (dương, âm, dương…) thì gần như chắc chắn q < 0.
Phần 1: 12 câu trắc nghiệm cấp số nhân có đáp án
Câu 1. Dãy số nào sau đây là cấp số nhân?
A. 1; 3; 6; 10 B. 2; −6; 18; −54 C. 1; 4; 9; 16 D. 5; 10; 20; 30
Đáp án B. Mỗi số hạng bằng số trước nhân −3. Dãy A tăng thêm 2, 3, 4; dãy C là các số chính phương; dãy D có tỉ số 2, 2 rồi 1,5 nên không có công bội chung.
Câu 2. Cấp số nhân có u1 = 3, q = 2. Số hạng u6 bằng
A. 48 B. 96 C. 192 D. 64
Đáp án B. u6 = 3·25 = 96. Chọn 192 là do nhầm số mũ thành 6.
Câu 3. Cấp số nhân có u2 = 6 và u5 = −48. Công bội và số hạng đầu là
A. q = 2, u1 = 3 B. q = −2, u1 = −3 C. q = −2, u1 = 3 D. q = 2, u1 = −3
Đáp án B. Lập tỉ số u5/u2 = q3 = −8 nên q = −2, suy ra u1 = u2/q = −3. Phương án C sai dấu vì quên chia cho số âm.
Câu 4. Dãy số un = 5·3n là cấp số nhân với công bội
A. 5 B. 3 C. 15 D. Không phải cấp số nhân
Đáp án B. un+1/un = 3 không phụ thuộc n. Số 15 chính là u1, không phải công bội.
Câu 5. Cấp số nhân có u1 = 2, q = −3. Số 162 là số hạng thứ mấy?
A. Thứ 4 B. Thứ 5 C. Thứ 6 D. Không thuộc dãy
Đáp án B. 2·(−3)n−1 = 162 ⇔ (−3)n−1 = 81 = (−3)4 nên n = 5. Lưu ý (−3)n−1 dương chỉ khi n − 1 chẵn, điều này khớp với kết quả.
Câu 6. Ba số 3; x; 12 theo thứ tự lập thành cấp số nhân khi
A. x = 6 B. x = −6 C. x = ±6 D. x = 7,5
Đáp án C. x2 = 3·12 = 36 nên x = 6 hoặc x = −6; cả hai đều cho cấp số nhân (công bội 2 hoặc −2). Giá trị 7,5 là trung bình cộng, dùng cho cấp số cộng.
Câu 7. Cấp số nhân có u1 = 1, q = 3. Tổng 5 số hạng đầu bằng
A. 81 B. 121 C. 243 D. 364
Đáp án B. S5 = (35 − 1)/(3 − 1) = 242/2 = 121. Kiểm tra cộng tay: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 = 121.
Câu 8. Tổng 1 + 2 + 4 + … + 29 bằng
A. 511 B. 1023 C. 1024 D. 2047
Đáp án B. Từ 20 đến 29 có 10 số hạng, nên tổng là 210 − 1 = 1023. Đếm thiếu số hạng sẽ ra 511.
Câu 9. Cấp số nhân có các số hạng đều dương, u3 = 4 và u7 = 64. Giá trị u5 là
A. 16 B. 32 C. 34 D. ±16
Đáp án A. u5 đứng giữa u3 và u7 nên u52 = 4·64 = 256, u5 = 16 vì các số hạng dương. Số 34 là trung bình cộng, chỉ đúng với cấp số cộng.
Câu 10. Mệnh đề nào sau đây sai?
A. Cấp số nhân có q = 1 là dãy không đổi. B. Nếu u1 > 0 và q < 0 thì các số hạng đan dấu. C. uk2 = uk−1·uk+1 với k ≥ 2. D. Dãy 0; 0; 0; … không phải cấp số nhân.
Đáp án D. Dãy toàn số 0 thỏa un+1 = un·q với mọi q nên vẫn là cấp số nhân. Ba mệnh đề còn lại đều đúng theo định nghĩa và tính chất.
Câu 11. Một tế bào vi khuẩn cứ 20 phút phân đôi một lần. Từ 1 tế bào ban đầu, sau 3 giờ có bao nhiêu tế bào?
A. 256 B. 512 C. 1024 D. 18
Đáp án B. 3 giờ = 180 phút, ứng với 9 lần phân đôi, số tế bào là 29 = 512. Đáp án 18 là do cộng 2 mỗi lần thay vì nhân 2.
Câu 12. Ba số 2; b; 18 lập cấp số nhân và b < 0. Khi đó b bằng
A. −6 B. −9 C. −10 D. −36
Đáp án A. b2 = 36, chọn b = −6 theo điều kiện. Dãy 2; −6; 18 có công bội −3.
Phần 2: 12 bài tập tự luận cấp số nhân có lời giải
Dạng 1: Tìm số hạng đầu, công bội
Bài 1. Tìm u1 và q của cấp số nhân biết u4 − u2 = 72 và u5 − u3 = 144.
Lời giải. Ta có u5 − u3 = q(u4 − u2) nên 144 = 72q, q = 2. Thay vào u1(q3 − q) = 72 được 6u1 = 72, u1 = 12. Kiểm tra: dãy 12; 24; 48; 96; 192 thỏa cả hai điều kiện.
Bài 2. Ba số hạng đầu của một cấp số nhân có tổng bằng 13 và tích bằng 27. Tìm ba số đó.
Lời giải. Gọi ba số là u2/q; u2; u2q. Tích bằng u23 = 27 nên u2 = 3. Tổng: 3/q + 3 + 3q = 13 ⇔ 3q2 − 10q + 3 = 0 ⇔ q = 3 hoặc q = 1/3. Vậy ba số là 1; 3; 9 hoặc 9; 3; 1.
Mẹo: khi đề cho tích ba số liên tiếp, luôn đặt số giữa làm ẩn chính, tích sẽ “gọn” thành lập phương.
Bài 3. Chứng minh dãy un = 32n−1 là cấp số nhân, chỉ ra u1 và q.
Lời giải. un+1/un = 32n+1/32n−1 = 32 = 9, không phụ thuộc n. Vậy dãy là cấp số nhân với u1 = 3, q = 9.
Bài 4. Một cấp số nhân có 6 số hạng, biết u3 = 12 và u6 = 96. Viết cấp số nhân đó.
Lời giải. q3 = u6/u3 = 8 nên q = 2; u1 = u3/q2 = 3. Cấp số nhân: 3; 6; 12; 24; 48; 96.
Dạng 2: Tính tổng
Bài 5. Tính S = 3 + 6 + 12 + … + 768.
Lời giải. Đây là cấp số nhân u1 = 3, q = 2. Từ 3·2n−1 = 768 suy ra 2n−1 = 256, n = 9. Vậy S = 3(29 − 1)/(2 − 1) = 1533.
Bài 6. Tính T = 1 − 2 + 4 − 8 + … + 256.
Lời giải. u1 = 1, q = −2; 256 = (−2)8 nên có 9 số hạng. T = (1 − (−2)9)/(1 − (−2)) = (1 + 512)/3 = 171. Lỗi hay gặp là để mẫu bằng 1 − 2 = −1 do bỏ dấu âm của q.
Dạng 3: Tìm điều kiện để ba số lập cấp số nhân
Bài 7. Tìm x để ba số x − 2; x + 1; x + 7 theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
Lời giải. Điều kiện (x + 1)2 = (x − 2)(x + 7) ⇔ x2 + 2x + 1 = x2 + 5x − 14 ⇔ x = 5. Ba số là 3; 6; 12, công bội 2.
Bài 8. Ba số x, y, z lập cấp số cộng và có tổng bằng 15. Nếu lần lượt cộng thêm 1; 1; 4 vào ba số đó thì được một cấp số nhân. Tìm x, y, z.
Lời giải. Tổng cấp số cộng 3y = 15 nên y = 5; đặt x = 5 − d, z = 5 + d. Ba số mới 6 − d; 6; 9 + d lập cấp số nhân nên (6 − d)(9 + d) = 36 ⇔ d2 + 3d − 18 = 0 ⇔ d = 3 hoặc d = −6. Đáp số: (x; y; z) = (2; 5; 8) cho cấp số nhân 3; 6; 12, hoặc (11; 5; −1) cho cấp số nhân 12; 6; 3.
Bài 9. Tìm m để phương trình x3 − 7x2 + mx − 8 = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
Lời giải. Nếu ba nghiệm x1, x2, x3 lập cấp số nhân thì x1x3 = x22, mà theo định lí Viète x1x2x3 = 8, nên x23 = 8, x2 = 2. Thay x = 2: 8 − 28 + 2m − 8 = 0, m = 14. Thử lại: x3 − 7x2 + 14x − 8 = (x − 1)(x − 2)(x − 4), ba nghiệm 1; 2; 4 lập cấp số nhân công bội 2. Vậy m = 14.
Dạng 4: Bài toán thực tế và cực trị
Bài 10. Một người gửi 100 triệu đồng với lãi suất 6%/năm theo hình thức lãi kép (lãi năm trước nhập vào gốc năm sau). Sau 5 năm người đó có bao nhiêu tiền?
Lời giải. Số tiền sau mỗi năm lập cấp số nhân công bội 1,06. Sau 5 năm: 100·1,065 ≈ 133,82 triệu đồng. Chú ý: nếu gọi u1 = 100 là số tiền ban đầu thì số tiền sau 5 năm là u6, không phải u5.
Bài 11. Thả một quả bóng từ độ cao 10 m. Mỗi lần chạm đất, bóng nảy lên bằng 3/4 độ cao lần rơi trước. Tính tổng quãng đường bóng đã đi đến khi chạm đất lần thứ năm.
Lời giải. Các độ cao nảy lên là 7,5; 5,625; 4,21875; 3,1640625 (m), lập cấp số nhân với u1 = 7,5 và q = 0,75. Trước lần chạm đất thứ năm, bóng nảy lên 4 lần và mỗi lần đi cả lên lẫn xuống. Tổng 4 lần nảy: 7,5(1 − 0,754)/(1 − 0,75) = 20,5078125 m. Quãng đường: 10 + 2·20,5078125 = 51,015625 ≈ 51,02 m.
Bài 12. Cấp số nhân có u1 = 2. Tìm công bội q để biểu thức u3 − 8u2 đạt giá trị nhỏ nhất, rồi tính u5.
Lời giải. u3 − 8u2 = 2q2 − 16q = 2(q − 4)2 − 32 ≥ −32, dấu bằng khi q = 4. Khi đó u5 = 2·44 = 512.
Lỗi sai thường gặp khi giải bài tập cấp số nhân
- Nhầm số mũ: viết un = u1·qn. Hãy thử với n = 1: công thức đúng phải cho lại u1.
- Quên nghiệm âm: từ q2 = 4 phải xét cả q = 2 và q = −2, trừ khi đề cho các số hạng dương.
- Đếm sai số số hạng khi tính tổng: luôn giải u1·qn−1 = số hạng cuối để tìm n, không đếm nhẩm.
- Dùng công thức tổng khi q = 1: mẫu bằng 0, phải dùng Sn = n·u1.
- Lẫn với cấp số cộng: số hạng giữa của cấp số nhân thỏa b2 = ac, của cấp số cộng thỏa 2b = a + c.
Bài tự luyện (có đáp số)
- Cấp số nhân có u1 = −4, q = 1/2. Tính u6. Đáp số: −1/8.
- Tìm x để 1; x; x + 2 lập cấp số nhân. Đáp số: x = 2 hoặc x = −1.
- Tính 5 + 15 + 45 + … + 1215. Đáp số: 1820 (6 số hạng, q = 3).
Muốn luyện thêm dạng trắc nghiệm, em xem bộ câu trắc nghiệm cấp số nhân; nếu cần ôn kĩ dạng tìm điều kiện, đọc phương pháp tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số nhân.
Câu hỏi thường gặp
Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là gì?
u_n = u_1·q^(n−1), trong đó u_1 là số hạng đầu và q là công bội. Thử lại với n = 1 sẽ thấy công thức cho đúng u_1.
Làm sao nhận biết nhanh một dãy số là cấp số nhân?
Lập tỉ số u_(n+1)/u_n. Nếu tỉ số này là một hằng số không phụ thuộc n thì dãy là cấp số nhân và hằng số đó chính là công bội q.
Ba số a, b, c lập cấp số nhân khi nào?
Khi b² = ac (với a, b, c theo đúng thứ tự). Đây là điều kiện dùng nhiều nhất trong dạng tìm x để ba số lập cấp số nhân.
Tính tổng cấp số nhân khi công bội bằng 1 thế nào?
Khi q = 1 mọi số hạng bằng u_1 nên S_n = n·u_1; không được dùng công thức u_1(1 − q^n)/(1 − q) vì mẫu bằng 0.