Trả lời nhanh
Với dạng đề quen thuộc này (yêu cầu tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (IJG), rồi xác định thiết diện), kết quả là: giao tuyến là đường thẳng đi qua G và song song với AB, cắt SA tại M, cắt SB tại N. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (IJG) là hình thang MNJI có MN // IJ. Chìa khoá của cả bài là IJ // AB, vì IJ là đường trung bình của hình thang ABCD.
Đề bài và cách đọc hình
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB // CD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC, còn G là trọng tâm của tam giác SAB. Đề thường hỏi hai ý: (a) tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG); (b) xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (IJG).
Trước khi giải, em hãy tự hỏi: hai mặt phẳng này đã có sẵn điểm chung nào? Chỉ có G, vì G nằm trong tam giác SAB nên thuộc (SAB), đồng thời G là một trong ba điểm xác định mặt phẳng (IJG). Một điểm chung chưa đủ để vẽ một đường thẳng, nên ta phải tìm thêm phương của giao tuyến.
Bước 1: Chứng minh IJ // AB // CD
Trong hình thang ABCD, I và J là trung điểm của hai cạnh bên AD và BC, nên IJ là đường trung bình. Theo tính chất đường trung bình của hình thang, IJ // AB // CD và IJ = (AB + CD) / 2.
Đây là bước nhiều bạn bỏ sót, dù mọi thứ phía sau đều dựa vào nó.
Bước 2: Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)
- G là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
- Mặt phẳng (SAB) chứa AB, mặt phẳng (IJG) chứa IJ, mà AB // IJ.
- Áp dụng định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng lần lượt chứa hai đường thẳng song song: giao tuyến là đường thẳng đi qua điểm chung G và song song với AB (và IJ).
- Trong mặt phẳng (SAB), kẻ qua G đường thẳng song song AB, cắt SA tại M và cắt SB tại N. Khi đó (SAB) ∩ (IJG) = MN.
Cách kiểm tra nhanh: M thuộc SA nên M thuộc (SAB) và (SAD); N thuộc SB nên thuộc (SAB) và (SBC). Hai điểm này sẽ giúp ta lần ra các cạnh còn lại của thiết diện.
Bước 3: Dựng thiết diện
Ta lần lượt tìm giao tuyến của (IJG) với từng mặt của hình chóp:
- Mặt (SAB): giao tuyến là MN.
- Mặt (SBC): có hai điểm chung là N và J, nên giao tuyến là NJ.
- Mặt đáy (ABCD): có hai điểm chung là I và J, nên giao tuyến là IJ.
- Mặt (SAD): có hai điểm chung là M và I, nên giao tuyến là IM.
Bốn đoạn MN, NJ, JI, IM khép kín thành tứ giác MNJI. Vì MN // IJ (cùng song song với AB) nên thiết diện là hình thang MNJI với hai đáy là MN và IJ. Mặt phẳng cắt song song với CD nên không còn cắt mặt (SCD), do đó thiết diện dừng lại ở bốn cạnh này.
Tính tỉ lệ: MN dài bao nhiêu so với AB?
Gọi K là trung điểm AB. Vì G là trọng tâm tam giác SAB nên G nằm trên trung tuyến SK và SG = (2/3)SK. Do MN // AB nên theo định lí Ta-lét, SM/SA = SN/SB = SG/SK = 2/3, từ đó MN = (2/3)AB.
Mẹo nhớ: trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ 2 : 1 tính từ đỉnh, cho nên đường thẳng qua trọng tâm và song song với cạnh đáy luôn “ăn” hai phần ba cạnh đáy.
Khi nào thiết diện là hình bình hành?
Thiết diện MNJI có MN // IJ. Nó trở thành hình bình hành khi hai đáy bằng nhau: (2/3)AB = (AB + CD)/2. Biến đổi: 4AB = 3AB + 3CD, tức AB = 3CD. Ví dụ AB = 9, CD = 3 thì MN = 6 và IJ = 6, thiết diện là hình bình hành. Còn AB = 6, CD = 4 thì MN = 4, IJ = 5, thiết diện chỉ là hình thang.
Lỗi sai thường gặp
- Nối thẳng G với I rồi cho đó là giao tuyến: sai, vì I không thuộc (SAB).
- Quên chứng minh IJ // AB nên không giải thích được vì sao MN // AB.
- Vẽ M, N không nằm trên SA, SB mà nằm trên cạnh khác.
- Kết luận thiết diện là hình bình hành khi chưa kiểm tra điều kiện AB = 3CD.
Bài luyện tập
Bài 1. Với AB = 12 và CD = 6, tính MN và IJ rồi cho biết thiết diện MNJI là hình gì.
Đáp án: MN = (2/3)·12 = 8; IJ = (12 + 6)/2 = 9. Hai đáy khác nhau nên MNJI là hình thang (không phải hình bình hành).
Bài 2. Giữ nguyên đề nhưng thay G bằng trung điểm của SK, với K là trung điểm AB. Tính tỉ số SM/SA.
Đáp án: SG/SK = 1/2 nên SM/SA = 1/2, tức M là trung điểm SA và MN = AB/2.
Bài 3. Chứng minh MN // CD.
Đáp án: MN // AB và AB // CD nên MN // CD (hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao IJ song song với AB?
Vì I, J là trung điểm của hai cạnh bên AD và BC của hình thang ABCD nên IJ là đường trung bình, do đó song song với hai đáy AB và CD.
Giao tuyến của (SAB) và (IJG) là đường nào?
Là đường thẳng MN đi qua G và song song với AB, trong đó M thuộc SA và N thuộc SB.
Thiết diện của hình chóp cắt bởi (IJG) là hình gì?
Là hình thang MNJI có hai đáy MN và IJ song song với nhau; nó là hình bình hành chỉ khi AB = 3CD.