Trả lời nhanh
Khẳng định cos2x = 2cosx là sai với mọi x nói chung. Chỉ cần thử x = 0: cos0 = 1 nhưng 2cos0 = 2. Công thức đúng của cosin góc nhân đôi là cos2x = 2cos²x − 1 = 1 − 2sin²x = cos²x − sin²x. Khi đề cho nhiều phương án, em chọn phương án có dạng bình phương như vậy chứ không chọn dạng “nhân 2 cosx”.
Vì sao cos2x không bằng 2cosx?
Hàm cos không có tính chất tuyến tính, nghĩa là cos(2x) không bằng 2·cos(x). Nhìn bằng giá trị: cosx luôn nằm trong đoạn [−1; 1], nên 2cosx có thể nhận giá trị trong [−2; 2], còn cos2x thì không bao giờ vượt quá 1. Hai biểu thức khác nhau về miền giá trị nên không thể bằng nhau với mọi x.
Đồ thị cho thấy hai đường chỉ cắt nhau tại một vài điểm cụ thể (chấm vàng), không trùng nhau. Vì vậy “cos2x = 2cosx” nếu có thì chỉ là một phương trình, không phải đẳng thức.
Các dạng đúng của công thức nhân đôi
| Công thức | Khi nào dùng |
|---|---|
| cos2x = cos²x − sin²x | Dạng gốc, suy ra từ công thức cộng cos(x + x) |
| cos2x = 2cos²x − 1 | Đề chỉ có cosx, muốn hạ bậc hoặc đưa về một hàm |
| cos2x = 1 − 2sin²x | Đề chỉ có sinx |
| sin2x = 2sinx·cosx | Nhân đôi của sin |
Em có thể tự chứng minh dạng thứ hai: từ cos2x = cos²x − sin²x và sin²x = 1 − cos²x, thay vào được cos2x = cos²x − (1 − cos²x) = 2cos²x − 1.
Cách chọn khẳng định đúng trong đề trắc nghiệm
- Thử giá trị đặc biệt: chọn x = 0, x = π/2 hoặc x = π/3 rồi so hai vế. Chỉ cần một giá trị làm hai vế khác nhau là loại được phương án.
- Đối chiếu công thức: phương án nào khớp với một trong các dạng ở bảng trên thì giữ lại.
- Soát hệ số và luỹ thừa: hay gặp các phương án “giả” như cos2x = 2cosx, cos2x = 2cos²x (thiếu −1), cos2x = cos²x + sin²x (đúng bằng 1, không phải cos2x).
Ví dụ thử x = π/3: cos(2π/3) = −1/2 còn 2cos(π/3) = 1, hai vế khác nhau, đúng như phân tích.
Nếu đề hỏi giải phương trình cos2x = 2cosx
Đây là một câu hỏi khác nhưng hay xuất hiện cùng dạng. Đặt t = cosx, thay cos2x = 2t² − 1:
- 2t² − 1 = 2t, suy ra 2t² − 2t − 1 = 0.
- Nghiệm t = (1 + √3)/2 ≈ 1,37 (loại vì lớn hơn 1) và t = (1 − √3)/2 ≈ −0,366 (nhận).
- Do đó cosx = (1 − √3)/2, tức x = ± arccos((1 − √3)/2) + k2π, k thuộc ℤ. Giá trị gần đúng là x ≈ ±1,946 rad.
Điều này cũng giải thích vì sao đồ thị ở trên cắt nhau tại hai điểm trong đoạn [−π; π].
Lỗi sai thường gặp
- Đưa hằng số ra ngoài hàm lượng giác: viết cos2x = 2cosx hay sin2x = 2sinx như phép nhân thông thường.
- Quên số hạng −1: viết cos2x = 2cos²x thay vì 2cos²x − 1.
- Nhầm sin2x với cos2x: sin2x = 2sinx·cosx có tích hai hàm, còn cos2x thì không có dạng tích đó.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
Bài 1. Cho cosx = 1/3. Tính cos2x.
Đáp án: cos2x = 2·(1/3)² − 1 = 2/9 − 1 = −7/9.
Bài 2. Cho sinx = 3/5. Tính cos2x.
Đáp án: cos2x = 1 − 2·(3/5)² = 1 − 18/25 = 7/25.
Bài 3. Khẳng định nào đúng: (a) sin2x = 2sinx; (b) sin2x = 2sinx·cosx?
Đáp án: (b) đúng. Với (a), thử x = π/2: sinπ = 0 nhưng 2sin(π/2) = 2.
Bài 4. Rút gọn A = 2cos²x − cos2x.
Đáp án: A = 2cos²x − (2cos²x − 1) = 1.
Câu hỏi thường gặp
cos2x có bằng 2cosx không?
Không. Đây không phải đẳng thức, chẳng hạn x = 0 cho cos0 = 1 nhưng 2cos0 = 2. Công thức đúng là cos2x = 2cos²x − 1.
Công thức nhân đôi của cosin gồm những dạng nào?
Có ba dạng: cos2x = cos²x − sin²x, cos2x = 2cos²x − 1 và cos2x = 1 − 2sin²x. Chọn dạng nào tuỳ đề cho cosx hay sinx.
Làm sao nhanh chóng loại một công thức lượng giác sai?
Thay một giá trị đặc biệt như x = 0, π/2 hoặc π/3 vào hai vế. Chỉ cần hai vế khác nhau là phương án đó sai.