Trả lời nhanh
Với khối hộp chữ nhật xếp từ các khối lập phương nhỏ có kích thước a × b × c (mỗi số từ 2 trở lên), số khối sơn 3 mặt là 8 (ở 8 đỉnh), số khối sơn 2 mặt là 4[(a−2)+(b−2)+(c−2)] (ở các cạnh), số khối sơn 1 mặt là 2[(a−2)(b−2)+(b−2)(c−2)+(a−2)(c−2)] (ở các mặt) và số khối không được sơn là (a−2)(b−2)(c−2) (ở bên trong). Em thay kích thước cụ thể của đề vào là ra đáp số.
Hiểu bài toán
Khi xếp các khối lập phương nhỏ thành một hộp lớn rồi sơn toàn bộ mặt ngoài, mỗi khối nhỏ sẽ có số mặt được sơn khác nhau tuỳ vị trí. Đề thường hỏi: có bao nhiêu khối sơn ba mặt, hai mặt, một mặt, hoặc không được sơn mặt nào. Kích thước hộp (số khối theo chiều dài, rộng, cao) được cho trong đề.
Mấu chốt là phân loại các khối theo vị trí: ở đỉnh, ở cạnh, ở mặt hoặc ở bên trong.
Hình minh hoạ khối 4 × 3 × 3
Cách đếm theo vị trí
| Vị trí | Số mặt sơn | Số khối |
|---|---|---|
| Đỉnh | 3 mặt | 8 |
| Cạnh (không tính hai đầu) | 2 mặt | 4[(a−2)+(b−2)+(c−2)] |
| Mặt (không tính phần cạnh) | 1 mặt | 2[(a−2)(b−2)+(b−2)(c−2)+(a−2)(c−2)] |
| Bên trong | 0 mặt | (a−2)(b−2)(c−2) |
Lí do của từng công thức:
- Khối hộp có 8 đỉnh nên có 8 khối ba mặt, không phụ thuộc kích thước.
- Hộp có 12 cạnh, gồm 4 cạnh mỗi loại chiều dài a, b, c. Trên mỗi cạnh, bỏ hai khối ở hai đầu còn lại (a−2) hoặc (b−2) hoặc (c−2) khối hai mặt.
- Hộp có 6 mặt, gồm 2 mặt mỗi cặp kích thước. Trên một mặt a × b, bỏ viền ngoài còn (a−2)(b−2) khối một mặt.
- Phần bên trong là hộp nhỏ hơn bị bóc đi một lớp mỗi phía nên có (a−2)(b−2)(c−2) khối.
Ví dụ 1: hộp 4 × 3 × 3 (như hình)
- Ba mặt: 8 khối.
- Hai mặt: 4 × [(4−2)+(3−2)+(3−2)] = 4 × 4 = 16 khối.
- Một mặt: 2 × [2×1 + 1×1 + 2×1] = 2 × 5 = 10 khối.
- Không sơn: 2 × 1 × 1 = 2 khối.
Kiểm tra: 8 + 16 + 10 + 2 = 36 = 4 × 3 × 3 (tổng số khối). Phép kiểm tra này luôn nên làm.
Ví dụ 2: hộp 6 × 5 × 4
- Ba mặt: 8 khối.
- Hai mặt: 4 × (4 + 3 + 2) = 36 khối.
- Một mặt: 2 × (4×3 + 3×2 + 4×2) = 2 × 26 = 52 khối.
- Không sơn: 4 × 3 × 2 = 24 khối.
Kiểm tra: 8 + 36 + 52 + 24 = 120 = 6 × 5 × 4.
Trường hợp đặc biệt
- Hộp có một kích thước bằng 2: khi đó (a−2) = 0 nên số khối bên trong bằng 0, mọi khối đều được sơn ít nhất 3, 2 hoặc 1 mặt.
- Hộp có một kích thước bằng 1 (chỉ một lớp): công thức trên không dùng được, em đếm trực tiếp trên hình. Ví dụ hộp 1 × 4 × 3 thì các khối ở bốn góc sơn 4 mặt.
- Hình lập phương n × n × n: ba mặt 8, hai mặt 12(n−2), một mặt 6(n−2)², không sơn (n−2)³.
Lỗi sai thường gặp
- Đếm cả khối ở đỉnh vào nhóm hai mặt, nên số khối hai mặt bị thừa.
- Nhầm (a−2) với (a−1) vì quên rằng mỗi cạnh bị hai đầu “lấy” mất hai khối.
- Quên nhân 2 (cho cặp mặt đối diện) hoặc nhân 4 (cho nhóm cạnh bằng nhau).
- Không kiểm tra tổng bằng thể tích a × b × c.
Bài tập tự luyện (có đáp án)
Bài 1. Hộp 3 × 3 × 3 (hình lập phương lớn). Đếm khối sơn 3, 2, 1 mặt và không sơn.
Đáp án: 8; 12; 6; 1 (tổng 27).
Bài 2. Hộp 5 × 4 × 3. Có bao nhiêu khối sơn đúng hai mặt?
Đáp án: 4 × (3 + 2 + 1) = 24 khối.
Bài 3. Hộp 4 × 4 × 4. Có bao nhiêu khối không được sơn?
Đáp án: 2 × 2 × 2 = 8 khối.
Bài 4. Hộp 6 × 5 × 4: có bao nhiêu khối được sơn ít nhất một mặt?
Đáp án: 120 − 24 = 96 khối.
Câu hỏi thường gặp
Có bao nhiêu khối lập phương nhỏ được sơn ba mặt?
Luôn là 8 khối, ứng với 8 đỉnh của khối hộp chữ nhật, miễn là mỗi kích thước của hộp từ 2 trở lên.
Làm sao đếm khối không được sơn?
Bớt một lớp khối ở mỗi phía của mỗi chiều, phần còn lại có (a−2)(b−2)(c−2) khối, nếu một kích thước bằng 2 thì không còn khối nào.
Cách kiểm tra kết quả nhanh nhất là gì?
Cộng số khối sơn 3 mặt, 2 mặt, 1 mặt và không sơn, tổng phải bằng a × b × c, tức tổng số khối nhỏ của hộp.