Bài toán nâng cao lớp 7 học kì 1 có đáp án: 6 bài chọn lọc
Lớp 7Toán

Bài toán nâng cao lớp 7 học kì 1 có đáp án: 6 bài chọn lọc

Trả lời nhanh

Các bài toán nâng cao lớp 7 học kì 1 thường xoay quanh năm dạng: tính tổng bằng cách tách phân số, so sánh lũy thừa, dãy tỉ số bằng nhau, giá trị tuyệt đối và chứng minh hình học bằng tam giác bằng nhau. Dưới đây là 6 bài mẫu có lời giải đầy đủ và 3 bài luyện tập có đáp án.

Cách dùng bộ bài này

Em hãy tự làm mỗi bài ít nhất 10 phút rồi mới đọc lời giải. Sau mỗi bài có một dòng “Mẹo nhận dạng” để em biết gặp đề thế nào thì dùng cách đó. Các bài đều là ví dụ do chúng tôi tự đặt, bám sát kiến thức học kì 1: số hữu tỉ, số thực, đại lượng tỉ lệ, góc – đường thẳng song song, tam giác bằng nhau.

Bài 1. Tính tổng bằng cách tách phân số

Đề: Tính A = 1/(1·2) + 1/(2·3) + 1/(3·4) + … + 1/(49·50).

Giải: Với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1). Do đó

A = (1 − 1/2) + (1/2 − 1/3) + … + (1/49 − 1/50) = 1 − 1/50 = 49/50.

Mẹo nhận dạng: mẫu số là tích hai số hơn kém nhau 1 đơn vị thì các số hạng ở giữa triệt tiêu từng cặp.

Bài 2. So sánh hai lũy thừa

Đề: So sánh 2300 và 3200.

Giải: Đưa về cùng số mũ 100:

  • 2300 = (23)100 = 8100;
  • 3200 = (32)100 = 9100.

Vì 8 < 9 nên 8100 < 9100, suy ra 2300 < 3200.

Lỗi hay gặp: thấy 300 > 200 rồi kết luận ngay 2300 lớn hơn. Số mũ lớn hơn chưa chắc cho lũy thừa lớn hơn khi cơ số khác nhau. Hãy tìm ước chung lớn nhất của hai số mũ (ở đây là 100) để đưa về cùng số mũ.

Bài 3. Dãy tỉ số bằng nhau có hai tỉ lệ thức

Đề: Tìm x, y, z biết x/2 = y/3, y/4 = z/5 và x + y − z = 10.

Giải: Hai tỉ lệ thức đều chứa y nên ta phải “đồng bộ” giá trị của y.

  • x/2 = y/3 ⇒ x/8 = y/12 (nhân mẫu cùng với 4);
  • y/4 = z/5 ⇒ y/12 = z/15 (nhân mẫu cùng với 3).

Suy ra x/8 = y/12 = z/15 = k. Khi đó x = 8k, y = 12k, z = 15k. Thay vào x + y − z = 10: 8k + 12k − 15k = 5k = 10, nên k = 2.

Vậy x = 16, y = 24, z = 30. Thử lại: 16/2 = 8 = 24/3; 24/4 = 6 = 30/5; 16 + 24 − 30 = 10 ✓.

Mẹo nhận dạng: hai tỉ lệ thức có chung một biến thì quy đồng phần chứa biến chung (ở đây là 3 và 4, bội chung 12).

Bài 4. Phương trình và bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

Đề a: Tìm x biết |2x − 3| = x + 1.

Giải: Điều kiện x + 1 ≥ 0, tức x ≥ −1. Khi đó có hai trường hợp:

  • 2x − 3 = x + 1 ⇒ x = 4 (thoả điều kiện);
  • 2x − 3 = −(x + 1) ⇒ 3x = 2 ⇒ x = 2/3 (thoả điều kiện).

Thử lại: x = 4 cho |5| = 5 = 4 + 1 ✓; x = 2/3 cho |−5/3| = 5/3 = 2/3 + 1 ✓. Vậy x ∈ {4; 2/3}.

Đề b: Tìm giá trị nhỏ nhất của B = |x − 2| + |x − 5|.

Giải: Áp dụng |a| + |b| ≥ |a + b|, ta có B = |x − 2| + |5 − x| ≥ |(x − 2) + (5 − x)| = 3. Dấu “=” xảy ra khi (x − 2) và (5 − x) cùng dấu, tức 2 ≤ x ≤ 5. Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 3.

Lỗi hay gặp: quên đặt điều kiện vế phải không âm ở câu a, dẫn đến nhận nghiệm ngoại lai.

Bài 5. Hình học: tam giác bằng nhau và đường trung tuyến

Đề: Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh rằng: a) AB = CD và AB // CD; b) AM < (AB + AC)/2.

Tam giác ABC có M là trung điểm BC, D là điểm đối xứng với A qua M
Hình bài 5: lấy D trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA, khi đó ABDC là hình có AB // CD.

Giải câu a: Xét ΔAMB và ΔDMC có MA = MD (giả thiết), ∠AMB = ∠DMC (hai góc đối đỉnh), MB = MC (M là trung điểm BC). Vậy ΔAMB = ΔDMC (c.g.c). Suy ra AB = CD và ∠BAM = ∠CDM. Hai góc này ở vị trí so le trong tạo bởi đường thẳng AD cắt AB và CD, nên AB // CD.

Giải câu b: Tương tự, ΔAMC = ΔDMB (c.g.c) nên AC = BD. Trong tam giác ABD, theo bất đẳng thức tam giác: AD < AB + BD = AB + AC. Mà AD = 2AM nên 2AM < AB + AC, tức AM < (AB + AC)/2.

Mẹo nhận dạng: đề có trung điểm cùng đường trung tuyến thì hãy thử “lấy đối xứng” để tạo cặp tam giác bằng nhau và chuyển các cạnh về cùng một tam giác.

Bài 6. Chứng minh chia hết

Đề: Chứng minh 76 + 75 − 74 chia hết cho 11.

Giải: Đặt thừa số chung: 76 + 75 − 74 = 74(72 + 7 − 1) = 74·(49 + 7 − 1) = 74·55. Vì 55 = 5·11 chia hết cho 11 nên cả biểu thức chia hết cho 11.

Bài luyện tập có đáp án

  1. Tính S = 1/(1·3) + 1/(3·5) + 1/(5·7) + … + 1/(97·99).
  2. Tìm x, y biết x/3 = y/5 và x·y = 60.
  3. Chứng minh 3n+2 − 2n+2 + 3n − 2n chia hết cho 10 với mọi số nguyên dương n.

Đáp án gợi ý:

  1. Dùng 1/(k(k+2)) = ½·(1/k − 1/(k+2)). Khi đó S = ½·(1 − 1/99) = 49/99.
  2. Đặt x = 3k, y = 5k thì 15k2 = 60, k2 = 4, k = ±2. Vậy (x; y) = (6; 10) hoặc (−6; −10).
  3. Biểu thức = 3n(9 + 1) − 2n(4 + 1) = 10·3n − 5·2n = 10·3n − 10·2n−1 = 10·(3n − 2n−1), chia hết cho 10 vì n ≥ 1.

Tài liệu ôn luyện thêm

Câu hỏi thường gặp

Bài toán nâng cao lớp 7 học kì 1 gồm những dạng nào?

Phổ biến nhất là tính tổng dãy phân số có quy luật, so sánh lũy thừa, dãy tỉ số bằng nhau, giá trị tuyệt đối (tìm x, tìm GTNN), chứng minh chia hết và chứng minh hình học bằng tam giác bằng nhau.

Làm sao để giải được bài tỉ lệ thức nâng cao?

Đặt dãy tỉ số bằng k, biểu diễn các ẩn theo k rồi thay vào điều kiện còn lại. Nếu có hai tỉ lệ thức chung một biến thì quy đồng phần chứa biến chung trước.

Khi nào cần vẽ thêm điểm phụ trong bài hình lớp 7?

Khi đề có trung điểm hoặc trung tuyến, ta thường lấy điểm đối xứng qua trung điểm để tạo hai tam giác bằng nhau, từ đó chuyển các yếu tố về cùng một tam giác.

Em nên ôn bài nâng cao thế nào để đạt kết quả tốt?

Nắm chắc kiến thức SGK trước, sau đó mỗi tuần làm 3–5 bài nâng cao, tự làm trước khi xem đáp án và ghi lại lỗi sai để tránh lặp lại.

Bài học liên quan