Trả lời nhanh
Nguyên hàm của f(x) = cos2x là F(x) = (1/2)·sin2x + C. Vì vậy khẳng định ∫cos2x dx = 2sin2x + C là sai: đạo hàm của 2sin2x là 4cos2x, không phải cos2x. Hệ số đúng là 1/2, vì khi lấy nguyên hàm theo biến 2x ta phải chia cho 2.
Đề bài và kết luận
Đề bài: tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = cos2x, và xét xem kết quả ∫cos2x dx = 2sin2x + C có đúng không.
Kết luận: kết quả đúng là
∫cos2x dx = (1/2)·sin2x + C (C là hằng số bất kì).
Cách 1: Đổi biến u = 2x
- Đặt u = 2x, suy ra du = 2dx, tức dx = du/2.
- Thay vào: ∫cos2x dx = ∫cos u · (du/2) = (1/2)∫cos u du.
- Vì ∫cos u du = sin u + C nên ta được (1/2)·sin u + C.
- Trả biến: ∫cos2x dx = (1/2)·sin2x + C.
Cách 2: Kiểm tra bằng đạo hàm
F(x) là nguyên hàm của f(x) khi F′(x) = f(x). Ta thử hai ứng viên:
| Ứng viên | Đạo hàm (quy tắc hàm hợp) | Có bằng cos2x? |
|---|---|---|
| (1/2)·sin2x + C | (1/2)·cos2x·2 = cos2x | Có → đúng |
| 2sin2x + C | 2·cos2x·2 = 4cos2x | Không → sai |
Cách này nên dùng mỗi khi làm xong để tự kiểm tra, chỉ mất 10 giây.
Cách 3: Dùng công thức tổng quát
Với a ≠ 0:
- ∫cos(ax + b) dx = (1/a)·sin(ax + b) + C
- ∫sin(ax + b) dx = −(1/a)·cos(ax + b) + C
Ở đây a = 2, b = 0 nên ∫cos2x dx = (1/2)·sin2x + C.
Mẹo nhớ: đạo hàm hàm hợp “nhân” thêm a, nên nguyên hàm phải “chia” cho a để bù lại.
Lỗi sai thường gặp
- Nhân với 2 thay vì chia cho 2 (chính là lỗi trong khẳng định 2sin2x + C). Hãy nhớ: nguyên hàm thì chia, đạo hàm thì nhân.
- Quên hằng số C khi tìm nguyên hàm (không phải tích phân xác định).
- Nhầm dấu giữa cos và sin: ∫cos là +sin, còn ∫sin là −cos.
- Viết sin2x thành 2sinx hoặc sin²x: sin2x là sin của góc 2x.
Các nguyên hàm tương tự
| Hàm số | Nguyên hàm |
|---|---|
| cos3x | (1/3)·sin3x + C |
| sin2x | −(1/2)·cos2x + C |
| cos(2x + 1) | (1/2)·sin(2x + 1) + C |
| cos(x/2) | 2·sin(x/2) + C |
| cos²x | x/2 + (1/4)·sin2x + C (dùng cos²x = (1 + cos2x)/2) |
Chú ý dòng cos(x/2): lúc này a = 1/2 nên chia cho 1/2 tức là nhân 2. Đây là trường hợp “2sin” xuất hiện đúng.
Ví dụ áp dụng
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm F(x) của cos2x thoả F(π/4) = 1.
F(x) = (1/2)sin2x + C. Có F(π/4) = (1/2)·sin(π/2) + C = 1/2 + C = 1, suy ra C = 1/2. Vậy F(x) = (1/2)sin2x + 1/2.
Ví dụ 2. Tính tích phân ∫0π/4 cos2x dx.
= [(1/2)sin2x] từ 0 đến π/4 = (1/2)·sin(π/2) − (1/2)·sin0 = 1/2.
Bài luyện tập (có đáp án)
- Tìm ∫cos4x dx.
Đáp án: (1/4)·sin4x + C. - Tìm ∫sin3x dx.
Đáp án: −(1/3)·cos3x + C. - Tìm ∫cos(2x − π/3) dx.
Đáp án: (1/2)·sin(2x − π/3) + C.
Tóm tắt
Nguyên hàm cos2x = (1/2)sin2x + C. Muốn chắc chắn, hãy lấy đạo hàm kết quả: nếu ra đúng cos2x thì bài làm đã chính xác.
Câu hỏi thường gặp
Nguyên hàm của cos2x là gì?
Nguyên hàm của cos2x là (1/2)·sin2x + C, với C là hằng số bất kì.
Vì sao ∫cos2x dx = 2sin2x + C là sai?
Vì đạo hàm của 2sin2x bằng 2·cos2x·2 = 4cos2x, khác cos2x. Kết quả đúng phải có hệ số 1/2.
Nguyên hàm của cos(ax + b) tính thế nào?
Với a khác 0, ∫cos(ax + b) dx = (1/a)·sin(ax + b) + C.
Nguyên hàm của cos²x là gì?
Dùng cos²x = (1 + cos2x)/2, ta được ∫cos²x dx = x/2 + (1/4)·sin2x + C.