Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ lên đáy

Đề bài trong tiêu đề bị cắt ở phần “hình chiếu…”, nên điều kiện cụ thể (H là trung điểm của cạnh nào, hay trọng tâm; độ dài AA’ hay góc nào) có thể khác nhau tuỳ đề. Vì vậy dưới đây thầy cô trình bày phương pháp chung cho cả dạng bài, rồi giải ba ví dụ tự đặt. Em thay số liệu đề của mình vào là làm được.

Bước 1: Nhận ra đường cao của lăng trụ

Nếu hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABC) là điểm H thì A’H ⊥ (ABC). Khi đó A’H là chiều cao của lăng trụ. Mặt đáy A’B’C’ song song với (ABC) nên chiều cao này dùng được cho cả khối.

Công thức thể tích: V = S_ABC · A’H, với S_ABC = a²√3/4 (tam giác đều cạnh a).

Bước 2: Tính AH theo vị trí của H

Vị trí của H	Độ dài AH
Trung điểm của BC	AH = a√3/2 (đường cao tam giác đều)
Trọng tâm tam giác ABC	AH = (2/3) · a√3/2 = a√3/3
Trung điểm của AB (hoặc AC)	AH = a/2

Bước 3: Dùng tam giác vuông A’HA

Tam giác A’HA vuông tại H. Góc giữa đường thẳng AA’ và mặt phẳng (ABC) chính là góc A’AH. Tuỳ đề cho gì, em chọn một trong hai hướng:

• Cho độ dài AA’: A’H = √(AA’² − AH²).
• Cho góc α = góc A’AH: A’H = AH · tan α.

Ví dụ 1 (H là trung điểm BC, cho AA’)

Ví dụ tự đặt: hình chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm H của BC, AA’ = a. Tính thể tích.

1. AH = a√3/2.
2. A’H = √(a² − 3a²/4) = a/2.
3. V = (a/2) · a²√3/4 = a³√3/8.

Nhân tiện, sin(góc A’AH) = A’H/AA’ = 1/2 nên góc giữa AA’ và đáy là 30°.

Ví dụ 2 (H là trọng tâm, cho góc)

Ví dụ tự đặt: hình chiếu của A’ lên (ABC) là trọng tâm G của tam giác ABC, góc giữa AA’ và đáy bằng 60°. Tính thể tích.

1. AG = a√3/3.
2. A’G = AG · tan 60° = (a√3/3) · √3 = a.
3. V = a · a²√3/4 = a³√3/4.

Ví dụ 3 (H là trung điểm AB, cho góc 45°)

Ví dụ tự đặt: hình chiếu của A’ lên (ABC) là trung điểm H của AB, góc giữa AA’ và đáy bằng 45°.

1. AH = a/2.
2. Góc 45° nên tam giác A’HA vuông cân: A’H = AH = a/2.
3. V = (a/2) · a²√3/4 = a³√3/8.

Lỗi sai thường gặp

• Nhầm đường cao lăng trụ với AA’. AA’ là cạnh bên, chỉ bằng chiều cao khi lăng trụ đứng. Ở dạng này lăng trụ xiên, chiều cao là A’H.
• Nhầm AH khi H là trọng tâm. AH bằng 2/3 đường trung tuyến, không phải 1/2 hay 1/3.
• Nhầm góc. Góc giữa cạnh bên và đáy là góc A’AH, không phải góc giữa AA’ và AB.
• Quên diện tích đáy. Đáy là tam giác đều nên S = a²√3/4, đừng dùng công thức a²/2.

Mẹo nhớ

Gặp “hình chiếu của A’ lên đáy là H”: vẽ ngay tam giác vuông A’HA, ghi AH, A’H, AA’ và góc A’AH. Hầu hết các bước sau (thể tích, khoảng cách, góc giữa các mặt) đều xuất phát từ tam giác này.

Bài luyện tập

1. Lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu của A’ lên (ABC) là tâm O của tam giác ABC, AA’ = 2a. Tính thể tích.
   Đáp án: AO = a√3/3, A’O = √(4a² − a²/3) = a√33/3, V = a³√11/4.
2. Cùng đáy, hình chiếu của A’ là trung điểm H của BC, góc giữa AA’ và đáy bằng 45°. Tính thể tích.
   Đáp án: A’H = AH = a√3/2, V = (a√3/2) · a²√3/4 = 3a³/8.

Câu hỏi thường gặp

Hình chiếu của A' lên mặt đáy là H thì đường cao của lăng trụ là gì?

Đường cao là đoạn A'H, vì A'H vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích V = S đáy · A'H.

Diện tích tam giác đều cạnh a là bao nhiêu?

S = a²√3/4. Đường cao của tam giác đều là a√3/2.

Góc giữa cạnh bên AA' và mặt đáy được xác định thế nào?

Đó là góc giữa AA' và hình chiếu AH của nó trên đáy, tức góc A'AH trong tam giác vuông A'HA.

Nếu H là trọng tâm tam giác đều cạnh a thì AH bằng bao nhiêu?

AH = (2/3) · (a√3/2) = a√3/3.

Bài học liên quan

• Giải phương trình log₃(2x − 1) = 2: nghiệm là bao nhiêu?
• Hình hộp chữ nhật có ba kích thước đôi một khác nhau có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng?
• Khẳng định nào dưới đây là đúng? Cách chọn đáp án trắc nghiệm Toán
• Nguyên hàm cos2x bằng bao nhiêu? Vì sao không phải 2sin2x + C
• Đạo hàm của hàm số y = e^(1-2x) là y’ = -2e^(1-2x): cách giải và lưu ý
• Tìm m để hàm số y = x³/3 − mx² + (m² − 4)x + 3 đạt cực đại tại x = 3