Đạo hàm e^2x và đạo hàm của y = e^(1-2x)

Trả lời nhanh

Hàm số y = e^1−2x có đạo hàm y’ = −2e^1−2x. Ta dùng công thức đạo hàm hàm hợp (e^u)’ = u’·e^u với u = 1 − 2x, u’ = −2. Chú ý dấu trừ: nếu viết y’ = 2e^1−2x là bạn đã quên đạo hàm của số hạng −2x. Còn với y = e^2x thì y’ = 2e^2x.

Đề bài và hướng suy nghĩ

Đề bài: Tìm đạo hàm của hàm số y = e^1−2x. Kết quả đúng là y’ = −2e^1−2x.

Khi gặp hàm mũ cơ số e mà số mũ không phải chỉ là x, em hãy nhận ra ngay đây là hàm hợp. Hàm “bên ngoài” là e^u, hàm “bên trong” là u = 1 − 2x. Đạo hàm sẽ gồm hai phần: giữ nguyên e^u rồi nhân với đạo hàm của phần bên trong.

Công thức cần nhớ

(e^x)’ = e^x
(e^u)’ = u’·e^u, với u = u(x) là hàm số có đạo hàm
(a^u)’ = u’·a^u·ln a, với a > 0, a ≠ 1

Mẹo nhớ: “mũ e thì chép lại, rồi nhân đạo hàm của số mũ”. Công thức của e chính là trường hợp riêng của a^u khi a = e vì ln e = 1.

Giải chi tiết từng bước

Đặt u = 1 − 2x. Khi đó y = e^u.
Tính u’ = (1 − 2x)’ = 0 − 2 = −2.
Áp dụng công thức: y’ = u’·e^u = (−2)·e^1−2x.
Kết luận: y’ = −2e^1−2x.

Kiểm tra bằng cách làm khác

Ta viết e^1−2x = e·e^−2x. Vì e là hằng số nên y’ = e·(e^−2x)’ = e·(−2)·e^−2x = −2e^1−2x. Hai cách cho cùng kết quả.

Kiểm tra nhanh tại x = 0: y’ (0) = −2e¹ = −2e. Hàm e^1−2x giảm khi x tăng (vì số mũ giảm), nên đạo hàm âm là hợp lý. Nếu kết quả của em dương thì chắc chắn có chỗ sai.

Đạo hàm e^2x và so sánh

Với y = e^2x, đặt u = 2x, u’ = 2, nên y’ = 2e^2x. Bảng sau giúp em phân biệt các dạng hay gặp:

Hàm số	u’	Đạo hàm
y = e^2x	2	y’ = 2e^2x
y = e^−2x	−2	y’ = −2e^−2x
y = e^1−2x	−2	y’ = −2e^1−2x
y = e^x²+1	2x	y’ = 2x·e^x²+1

Nhận xét: hằng số cộng vào số mũ (như số 1 ở trên) không làm thay đổi hệ số nhân, chỉ giữ nguyên trong phần e^u.

Các đáp án sai thường gặp

y’ = 2e^1−2x: sai dấu, vì (−2x)’ = −2 chứ không phải 2.
y’ = e^1−2x: quên nhân với u’, coi như đạo hàm của e^x.
y’ = (1 − 2x)·e^−2x: nhầm với quy tắc đạo hàm của hàm lũy thừa xⁿ, đưa số mũ xuống làm hệ số.
y’ = −2e^−2x: bỏ mất số 1 trong số mũ, trong khi số mũ phải giữ nguyên 1 − 2x.

Bài luyện tập

Tính đạo hàm của y = e^3x+1.
Đáp án: u’ = 3, nên y’ = 3e^3x+1.
Tính đạo hàm của y = e^−x²+2x.
Đáp án: u’ = −2x + 2, nên y’ = (−2x + 2)e^−x²+2x.
Tính đạo hàm của y = x·e^2x.
Đáp án: dùng quy tắc tích: y’ = e^2x + x·2e^2x = (1 + 2x)e^2x.

Tóm tắt

Gặp e mũ một biểu thức, em làm theo ba bước: xác định u, tính u’, rồi viết y’ = u’·e^u. Với y = e^1−2x, u’ = −2 nên y’ = −2e^1−2x.

Câu hỏi thường gặp

Đạo hàm của e^(2x) là gì?

Đạo hàm của e^(2x) là 2e^(2x). Đặt u = 2x thì u' = 2, áp dụng (e^u)' = u'.e^u.

Đạo hàm của e^(1-2x) bằng bao nhiêu?

y' = -2e^(1-2x), vì u = 1 - 2x có u' = -2 và (e^u)' = u'.e^u.

Vì sao đạo hàm của e^(1-2x) lại mang dấu âm?

Số mũ 1 - 2x giảm khi x tăng nên hàm số nghịch biến trên toàn trục số. Do đó đạo hàm phải âm, khớp với hệ số -2.

Đạo hàm của e^(ax+b) tổng quát là gì?

Với a, b là hằng số, (e^(ax+b))' = a.e^(ax+b). Hệ số a chính là đạo hàm của số mũ.